Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решите как можно быстрее
sin^2 x+sin3x=cos^2 x+sinx

Показать ответ

Ответ:

AlexOge

19.11.2020 16:59

$x_{1}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$ $ n \in Z\\\\x_{2}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, $ $ n \in Z\\\\x_3=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n, $ $ n \in Z$

Объяснение:

Синус тройного угла:

$sin(3x)=sin(x+2x)=sin(x)\cdot cos(2x)+cos(x)\cdot sin(2x)=\\\\=sin(x)\cdot (1-2sin^2x)+cos(x)\cdot 2\cdot sin(x)\cdot cos(x)=sin(x)-2sin^3(x)+\\\\+2\cdot sin(x)\cdot (1-sin^2(x))=3\cdot sin(x)-4\cdot sin^3(x)$

Сведём в уравнении все функции к sin(x) :

$sin^2(x)+[3\cdot sin(x)-4\cdot sin^3(x)]=[1-sin^2(x)]+sin(x)\\\\-4\cdot sin^3(x)+2\cdot sin^2(x)+2\cdot sin(x)-1 =0$

Введем замену: t = sin(x), | t | ≤ 1

$-4t^3+2t^2+2t-1=0\\-2t^2\cdot (2t-1)+2t-1=0\\(2t-1)\cdot (1-2t^2)=0\\\\\left[\begin{array}{c}2t-1=0\\1-2t^2=0\end{array}\right \rightarrow\left[\begin{array}{c}t_1=\frac{1}{2} \\t_{2,3}=\pm \frac{\sqrt{2} }{2} \end{array}\right$

Для каждого из решений выполнено условие | t | ≤ 1. Возвращаем замену:

$1) $ $ t_1=\frac{1}{2} \\\\sin(x)=\frac{1}{2} \\\\\left[\begin{array}{c}x_{1}=\frac{\pi}{6}+2\pi n, n \in Z\\\\x_{2}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in Z\end{array}$

$2) $ $ t_2=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\\\left[\begin{array}{c}x_{3}=\frac{\pi}{4}+2\pi n, n \in Z\\\\x_{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n \in Z\end{array}$

$3) $ $ t_3=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\\\sin(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\\\\left[\begin{array}{c}x_{5}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, n \in Z\\\\x_{6}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n, n \in Z\end{array}$

Заметим, что серии решений x₃ , x₄ , x₅ , x₆ можно объединить в единую серию решений

$x_3 = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n, n\in Z$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

hatira801

14.08.2020 00:23

Найти частное оешение дифференциального уравнения(dy) /(2x-3)=(dx)/(2x-5) у(0)=1...

almagul82

14.04.2021 18:47

Вычислите: 3,866 × 3,4Результат округлите до ...

MischaO

03.08.2020 13:16

Решить уравнение 2x=1/5?...

saphiro12

03.12.2022 07:13

Проект Применение арифметической и геометрической прогрессий в профессиях...

pspoff

05.12.2022 17:17

Вставьте пропущенное число 4 5 7 11 19...

TaPo4оК

22.05.2023 18:37

У вас есть все попарно различные параллелепипеды, длины рёбер которых — натуральные числа, не превосходящие 4. Какой максимальной высоты башню вы можете построить, если основание...

Сонька2808

26.03.2023 19:59

Знайдіть раціональні корені рівняння 3)...

leger13245

21.08.2022 22:52

Решите уравнение: а)0.4(3x+1)=5.6-3(2-0.4x) б)4x-9(x-7)=-12...

їка

28.07.2022 10:31

Окно имеет форму прямоугольника, который сверху заканчивается правильным треугольником. периметр окна равен l . каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее...

simalivevl

08.11.2022 22:39

Решите все задания которые на фото Найти точку экстремума функции y = 2x^3- 3x^2 2 Найти промежуток убывания функции y = - x ^2 + 4x - 3...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку