Решите

​

Дан эллипс 9х² + 25у² = 225 с центром в начале координат.

Или (х²/25) + (у²/9) = 1.

В нём а = 5, в = 3.

Находим расстояние до фокусов - это величина "с".

с = √(a² - b²) = √(25 - 9) = √16 = 4.

Точки, где фокальные радиусы взаимно перпендикулярны. лежат на окружности радиусом 4 с центром в начале координат.

Тогда координаты искомых точек удовлетворяют решению системы:

9х² + 25у² = 225,

х² + у² = 16.  х² = 16 - у² подставим в первое уравнение.

9(16 - у²) = 25у² = 225.

144 - 9у² + 25у² = 225.

16у² = 81.    у = +- 9/4.

х = √(16 - (81/16) = +-5√7/4.

То есть на эллипсе есть 4 точки, в которых фокальные радиусы взаимно перпендикулярны.

((9/4); (5√7/4)),

((9/4); (-5√7/4)),

((-9/4); (5√7/4)),

((-9/4); (-5√7/4)).

                        у = –3х+5 ;             |              у = 2х

у = 6      |        6 = -3х+5                  |           6 = 2х

                       1 = -3х                      |            x = 3

                       x = -1/3

у=8      |           8 = -3*x+5                |           8 = 2*x

                       3 = -3x                      |            x = 4

                       x = -1

у = 20    |        20 = -3x+5                |           20 = 2*x

                       15 = -3x                                  x = 10          

                        x = -5

у = -13    |        -13 = -3x+5                |           -13 = 2*x

                      -18 = -3x                                  x = -6.5

                        x = 6