Решите уравнение cos^2x-sin^2x=2*sinx-1-2*sin^2x - вопрос №2221224924826 от nina236 20.04.2023 15:38

Question

Алгебра: Решите уравнение cos^2x-sin^2x=2*sinx-1-2*sin^2x

nina236 · Answer

видим, что с обеих сторон стоят формулы двойного аргумента косинуса - меняем их.

cos2x = 2sinx - cos2x

обратно раскрываем так, чтобы было удобно работать с синусом.

$2(1 - 2sin^2x) = 2sinx =\ \textgreater \ 2 - 4sin^2x = 2sinx$

приводим в порядок.

4sin^2x + 2sinx - 2= 0

делаем замену:

sinx = t

и учитываем то, что синус принадлежит только отрезку [-1;1]

4t^2 + 2t -2 = 0

поделим на два:

2t^2 + t - 1 = 0

находим дискриминант (можете по теореме Виета. Ну, как вам удобней)

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*2*(-1) = 1 + 8 = 9

находим t:

$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$
как видите, корни входят в отрезок, теперь вместо t подставляем sinx:

$sinx = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^k*arcsin \frac{1}{2} + \pi *k = (-1)^k* \frac{\pi}{6} +\pi*k$ , где k ∈ Z

sinx = -1

это частный случай. поэтому не будем утруждать себя.

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi*k$ , где k ∈ Z

C: