Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решите уравнение: sin³x + cos³x = 1

Показать ответ

Ответ:

Leyla1313

08.10.2020 21:55

Разложим в левой части уравнения по формуле суммы кубов

$\tt (\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)=1\\ (\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=1$

Пусть $\tt \sin x+\cos x=t$ и при этом $\tt |t|\leq \sqrt{2}$ , тогда, возведя в квадрат левую и правую части равенства $\tt 1+2\sin x\cos x=t^2~~~\Rightarrow~~~\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$

$\tt t\cdot\left(1-\frac{t^2-1}{2} \right)=1~|\cdot 2\\ \\ 2t-t^3+t=2\\ 2t-2-t^3+t=0\\ 2(t-1)-t(t-1)(t+1)=0\\ (t-1)(2-t^2-t)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\tt t-1=0~~~\Rightarrow~~ t_1=1\\ \\ \tt 2-t^2-t=0\\ t^2+t-2=0$

По т. Виета: $\tt t_1=1$

$\tt t_2=-2$ - не удовлетворяет условию при |t|≤√2

Обратная замена:

$\tt \sin x+\cos x=1\\ \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4} )=1\\ \sin(x+\frac{\pi}{4} )=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ x+\frac{\pi}{4} =(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\\boxed{\tt x=(-1)^k\cdot\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

ОпятьДЗ

29.01.2020 04:44

1 Напишите формулу линейной функции, график который расположен параллельно графику функции у= -0.8+1.5х 2. Постройте графики функций у= -10 +11x иу= 8-11x и выясните, как они...

Небатан1542

29.01.2020 04:44

Контрольная работа 3 8 класс по теме квадратные корни Макарычев...

mmmmm269

27.08.2021 13:55

82. На рисунке 8 изображён график функции y = f(x). По- стройте график функции: 1) y = f(x) + 1; 2) y = f(x — 1); 3) у = 2 - f(x)....

sensed

25.07.2020 21:04

Задание 1 по графику найдите значения коэффициентов k и b прямых. сделайте выводы о взаимном расположении прямых в зависимости от коэффициентов....

aftorik

21.10.2021 21:27

Разложите на множители x^2y^2+4x^2-4y^2-16. кто может объясните как решать!...

Ооггод

21.10.2021 21:27

Из двух городов, расстояние между которыми равно 240 км, одновременно на встречу дргу другу выехали два автомобиля. скорость одного из них 62-целых 1/3 км/ч, что на 2-целых 1/6...

123Никита5634

21.10.2021 21:27

Разложите на множители x^2y^2+4x^2-4y^2-16...

selipups96

09.11.2020 00:42

Срешением [tex]\sqrt[3]{3}*\sqrt[4]{3} =\sqrt[12]{x}[/tex]...

lizagolovashko

04.05.2023 12:40

Подобные слагаемые 8х-6х+7х-2у 27р+14g-16р-3g 3.5b-2.4c-0.6c-0.7b 1.6a+4x-2.8a-7.5x...

victoria128

04.05.2023 12:40

Из города а в город б одновременно выехали два автомобилиста. первый проехал с постоянной скоростью весь путь. второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку