В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
nastushakh20001
nastushakh20001
23.01.2020 03:46 •  Алгебра

Решите уравнение: \frac{sinx}{sin3x} +\frac{sin5x}{sinx} =8cosxcos3x

Показать ответ
Ответ:
senan52
senan52
30.09.2020 15:42

\frac{\sin x}{\sin 3x} + \frac{\sin 5x}{\sin x}=8\cos x \cos3x\; |\times \sin3x\sin x (А затем проверим теряем ли мы корни)

Получаем: \sin^{2}x+\sin5x\sin 3x=8\cos x\sin x\cos3x\sin3x \Leftrightarrow \sin^{2}x+\sin5x\sin 3x=2\sin2x\sin6x; Подберем такие a и b, что \cos5x\sin3x=\cos a-\cos b; Это легко сделать по формуле суммы косинусов. Получаем систему \left \{ {{a+b=10x} \atop {b-a=6x}} \right. \Leftrightarrow b=8x,\; a=2x; Аналогично делаем и в правой части уравнения. В итоге (после умножения на 2 обеих частей):

2\sin^{2}x+\cos2x-\cos8x=2\cos4x-2\cos8x \Leftrightarrow -\cos2x+1+\cos2x-\cos8x=2\cos4x-2\cos8x

Наконец,  1=2\cos4x-\cos8x; Сделаем замену:t=4x

1=\cos t-\cos2t \Leftrightarrow 1=\cos t-2\cos^{2}t+1 \Leftrightarrow \cos t(1-2\cos t)=0; Сделав обратную замену, приходим к ответу: \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4},\; k\in \mathbb{Z} \\\frac{\pi}{12}+\frac{\pi l}{2},\; l\in \mathbb{Z}\\\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}. Краткая проверка показывает, что ни один из корней этих серий решений не удовлетворяет решениям \sin3x\sin x =0

0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота