Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решите задачу Коши для заданной автономной системы дифференциальных уравнений.

Решите задачу Коши для заданной автономной системы дифференциальных уравнений.

Показать ответ

Ответ:

ymiyax

15.10.2020 08:53

$\begin{cases} x'=2x+4y\\ y'=x+5y\end{cases}$

Продифференцируем первое уравнение:

x''=2x'+4y'

Подставим в него соотношение для y' из второго уравнения:

x''=2x'+4(x+5y)

x''=2x'+4x+20y

Из полученного уравнения отнимем первое уравнение системы, умноженное на 5:

$x''-5\cdot x'=2x'+4x+20y-5\cdot(2x+4y)$

x''-5x'=2x'+4x+20y-10x-20y

x''-7x'+6x=0

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-7\lambda+6=0$

$(\lambda-1)(\lambda-6)=0$

$\lambda_1=1;\ \lambda_2=6$

$\Rightarrow x=C_1e^t+C_2e^{6t}$

Найдем х':

$x'=C_1e^t+6C_2e^{6t}$

Выразим у из первого уравнения:

$y=\dfrac{x'-2x}{4}$

Находим у:

$y=\dfrac{C_1e^t+6C_2e^{6t}-2(C_1e^t+C_2e^{6t})}{4}$

$y=\dfrac{C_1e^t+6C_2e^{6t}-2C_1e^t-2C_2e^{6t}}{4}$

$\Rightarrow y=-\dfrac{1}{4}C_1e^t+C_2e^{6t}$

Условие для задачи Коши:

$\begin{cases} C_1e^0+C_2e^{6\cdot0}=1.2 \\ -\dfrac{1}{4}C_1e^0+C_2e^{6\cdot0}=2.3\end{cases}$

$\begin{cases} C_1+C_2=1.2 \\ -\dfrac{1}{4}C_1+C_2=2.3\end{cases}$

От первого уравнения отнимем второе:

$C_1+C_2-\left(-\dfrac{1}{4}C_1+C_2\right)=1.2-2,3$

$C_1+C_2+\dfrac{1}{4}C_1-C_2=-1.1$

$\dfrac{5}{4}C_1=-1.1$

C_1=-0.88

Выражаем из первого уравнения C_2 :

C_2=1.2-C_1

C_2=1.2-(-0.88)

C_2=2.08

Частное решение:

$\begin{cases} x=-0.88e^t+2.08e^{6t} \\ y=-\dfrac{1}{4}\cdot(-0.88)e^t+2.08e^{6t} \end{cases}$

$\begin{cases} x=-0.88e^t+2.08e^{6t} \\ y=0.22e^t+2.08e^{6t} \end{cases}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

lsllalap

16.06.2021 01:30

Сделайте, кто что сможет) 1. у секції чоловічого одягу є різні костюми п’яти розмірів: сім – 48-го, вісім – 50-го, 19 – 52-го, дев’ять – 54-го, шість – 56-го. скількома...

RusskikhDaria

27.04.2020 16:20

Выражение (x+3)(y-2)+2x-3x+1 и найдите его значение при x=4√2, y=√2. кто решит тому 15...

Ymnikas

27.04.2020 16:20

Найдите значения выражений: cos107° cos17°+sin107° sin17°...

Lukasheva1928

19.08.2020 00:58

Велосипедист проходит расстояние 15 км за 2.5 часа. сколько пути он пройдет за 1 минуту с той же скоростью ? a ) 150 м b ) 100 м c ) 80 м d ) 90 м e ) 60 м...

Podoplel

03.01.2022 15:11

Выделить квадрат двучлена 1) x^2+3x-0.25 2)a^2-1/4a+1/4 3)b^2+b+1 ^-степень /-дробь...

уляотличница

03.01.2022 15:11

Номер 1. раскрой скобки и найди значения выражений. а) (- 2,4 - (3,6 - 1,62)= б) 6 8/9 + (- 2 8/9 + 3 4/7)= в) (1 4/5 + 1 5/6) - 2,1 - (5,8-7,9)= номер 2. выражения. а)...

kirikk3

03.01.2022 15:11

Половину времени,затраченного на дорогу,автомобиль ехал со скоростью 84 км/ч,а вторую половину -со скоростью 56км/ч.найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего...

gladishsofiya

09.10.2022 18:19

График функции y = 2(x + 2)^2 получается из графика функции y = 2x^2 сдвигом на две единицы масштаба: a) вправо б) влево в) вверх г)вниз...

AnnaSind

10.09.2021 19:59

Второй член возрастающей прогрессии равен 5 а четвертый член равен 20 найдите знаменатель этой прогрессии...

умник1627

06.12.2022 16:50

Дана арифметическая прогрессия: 35,32,29; . найдите первый отрицательный член этой прогрессии....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку