Решите задачу при уравнения: В двух коробках лежало по 11 плиток шоколада. После того, как из первой коробки взяли в 3 раза больше шоколада, чем из второго, в первой
коробке осталось в четыре раза меньше плиток шоколада, чем во второй. Сколько плиток
шоколада взяли из каждой коробки?

(запишите краткое условие, составьте уравнение, решите, запишите ответ)

сначала применим к правой части формулу приведения:

cos 2x = -cos x

cos 2x  + cos x = 0

2cos²x - 1 + cos x = 0

Пусть cos x = t, причём |t| ≤ 1

2t² + t - 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

t1 = (-1 - 3) / 4 = -1

t2 = (-1 + 3) / 4 = 1/2

cos x = -1                              или                                        cos x = 1/2

x = π + 2πn,n∈Z                                                                 x = ±arccos 1/2 + 2πk,k∈Z

                                                                                              x = ±π/3 + 2πk,k∈Z

Данные решения могут совпадать, что разумеется нам не надо, поскольку тогда придётся писать что-то одно. В данном случае не совпадают, и это хорошо видно по числовой окружности, нанеся на неё точки π/3 и π видно, что решения никогда не наложатся одно на другое.

Поэтому, произведём отбор корней по обоим формулам.

Отберём корни из первого решения. Для этого впихнём данное решение в указанный промежуток и решим двойное неравенство относительно n:

       3π/2  ≤ π + 2πn ≤ 5π/2

         π/2  ≤  2πn ≤ 3π/2

      Разделим на 2п:

                      1/4 ≤n≤ 3/4

Видим, что никаких целых n нет на данном интервале. Значит, данное решение мы отбрасываем.

Осталось второе решение.

Также вобьём его в указанный промежуток и решим полученное двойное неравенство относительно k, но разобъём данное объединённое решение ещё на два и провернём с каждым подобную операцию:

                           3π/2  ≤  π/3 + 2πk ≤ 5π/2

                          7π/6  ≤  2πk ≤ 13π/6

                        Разделим данное неравенство на 2π:

                             7/12 ≤ k ≤ 13/12

           Замечаем, что на данном промежутке единственное целое значение k - это k = 1. Подставив его в общую формулу вместо k, получим тот самый корень, который нам требуется:

k = 1   x = π/3 + 2π = 7π/3 - это нужный отобранный корень

Теперь проверим. есть ли ещё такие корни.

Для этого впихнём в данный промежуток второй вариант решения ±π/3 + 2πk, это -π/3 + 2πk:

                                       3π/2  ≤ -π/3 + 2πk ≤ 5π/2

                                        11π/6 ≤ 2πk ≤ 17π/6

                                         11/12 ≤ k ≤ 17/12

По неравенству видно, что есть опять же только единственное значение k - это 1. Подставив его в эту формулу получим наш второй корень:

k = 1             x = -π/3 + 2π = 5π/3

Таким образом, ответ пишем таким образом:

а)π + 2πn,n∈Z; ±π/3 + 2πk,k∈Z

б)7π/3; 5π/3

Под буквой б - наши отобранные корни на заданном промежутке. Задача выполнена.

Для удобства сразу переведём проценты в десятичные дроби:

100% - 1

60%  - 0,6

70%  - 0,7

40%  - 0,4

1)1+0,6=1,6 (или 160%)-составила продажная цена товара от закупочной цены

2)1-0,4=0,6 (или 60%)-составила цена товара после уценки на 40%

3)1,6*0,6=0,96 (или 96%) -составила цена товара после уценки по отношению к

                          первоначальной продажной цене

4)1-0.7=0,3 (или 30%)- от товара продано с уценкой на 40%

5)0,7*1,6+0,3*0,96=1,408 (или 140,8%)-составила общая продажная цена на товар

6)1,408-1=0,408 (или 40,8%) -составила прибыль магазина от закупочной цены

ответ: 40,8%