Розкласти на множники 36а⁵в⁴ - 49 а³в⁶ за 5 кг апельсинів і 4 кг лимонів заплатили 31 грн. скільки коштує 1 кг апельсинів і скільки коштує 1 кг лимонів, якщо 7 кг апельсинів дорожче за 5 кг лимонів на 1 грн? спростити вираз: (5х – 4у) - (3х + 2у)(у – 5х). довести, що при будь-яких значеннях х значення виразу (7,5 + х)² - (х – 4,5)² - 6(4х + 5) є сталим числом. знайти це число. сума двох чисел дорівнює 120. якщо перше число збільшити на 10%, а друге зменшити на 20%, то їх сума дорівнюватиме 111. знайти ці числа.
Уравнение будет такое:
Есть алгоритм решения таких уравнений, называются они линейными диофантовыми уравнениями, потому что изучал их Диофант, полагаю.
Так вот, сначала нужно найти НОД коэффициентов, то есть 11 и 14, так как они взаимнопросты, то
Потом на него надо сократить, при чём если не сократится, то решения нет. Но нам тут сокращать не на что.
Дальше надо угадать какое-то решение, одно, любое. На самом деле, оно не угадывается, а находится по алгоритму Евклида обратным ходом (есть такая ещё теорема о линейном представлении НОДа). Ну так вот, из неё
Круто, да? Подойдёт, проверьте. Это я просто домножил на 2013 представление единицы.
Вы скажете: ну это же не решение, какое-то отрицательное число!
Я вам на это скажу, что вы правы. И замечу только, что общее решение в целых числах пишется так:
И теперь последний шаг, нужно найти такие t, что оба эти числа натуральны.
Ну и выходит, что нету таких t, может, я где-то ошибся, но вроде калькулятором пользовался.
Такие дела. Предмет, на котором это проходят, называется "теория чисел", а задачки такие на олимпиадах дают, там школьники это всё уже должны знать.
Знание - сила.
11a + 14b = 2013
Отсюда
a = (2013 - 14b)/11 = 183 - 14b/11
При этом a и b должны быть натуральными.
Значит, b делится на 11, чтобы а получилось натуральным.
Варианты:
b = 11, a = 183 - 14 = 169
b = 22, a = 183 - 14*2 = 183 - 28 = 155
b = 33, a = 183 - 14*3 = 183 - 42 = 141
b = 44, a = 183 - 14*4 = 183 - 56 = 127
b = 55, a = 183 - 14*5 = 183 - 70 = 113
b = 66, a = 183 - 14*6 = 183 - 84 = 99
b = 77, a = 183 - 14*7 = 183 - 98 = 85
b = 88, a = 183 - 14*8 = 183 - 112 = 71
b = 99, a = 183 - 14*9 = 183 - 126 = 57
b = 110, a = 183 - 14*10 = 183 - 140 = 43
b = 121, a = 183 - 14*11 = 183 - 154 = 29
b = 132, a = 183 - 14*12 = 183 - 168 = 15
b = 143, a = 183 - 14*13 = 183 - 182 = 1
Всё. ответ: 13 вариантов.