1) При p=0, получим неравенство -3х+3>0, откуда x<1, т.е. оно верно не при всех х, значит p=0 не подходит. 2) При p<0 левая часть задает параболу, ветви которой направлены вниз, поэтому она не лежит целиком в верхней полуплоскости, значит такие p нам не подходят. 3) При p>0 левая часть задает параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому неравенство будет выполняться при любом х в случае, когда эта парабола не пересекает ось Ох, т.е. левая часть не имеет корней или, что то же самое,. ее дискриминант отрицателен: D=(2p-3)²-4p(p+3)=4p²-12p+9-4p²-12p=-24p+9<0, откуда p>9/24=3/8. ответ: p∈(3/8;+∞).
Можно выделить полные квадраты: (9a^2+6ab+b^2)+(b^2+18b+81)+ (a^2-6a+9)+1926=(3a+b)^2 +(b+9)^2 +(a-3)^2+1926 Заметим ,что если возможно,что все 3 квадрата могут быть равны 0. То минимум ,когда все квадраты равны нулю. Тк в этом случае все квадраты будут принимать свое минимальное значение. Ведь квадрат неотрицателен. Проверим: b+9=0 ,b=-9 ,a-3=0 , a=3. Подставим в 1 квадрат: 3a+b=3*3-9=0 . Тут нам несказанно повезло,ведь на практике подобный случай довольно редок! Таким образом наименьшее значение будет при a=3, b=-9. Это наименьшее значение равно 1926 соответственно. В более общем случае эта задача решается через экстремум 2 переменных,что не является школьной программой.
2) При p<0 левая часть задает параболу, ветви которой направлены вниз, поэтому она не лежит целиком в верхней полуплоскости, значит такие p нам не подходят.
3) При p>0 левая часть задает параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому неравенство будет выполняться при любом х в случае, когда эта парабола не пересекает ось Ох, т.е. левая часть не имеет корней или, что то же самое,. ее дискриминант отрицателен:
D=(2p-3)²-4p(p+3)=4p²-12p+9-4p²-12p=-24p+9<0,
откуда p>9/24=3/8.
ответ: p∈(3/8;+∞).