x₁=π/6+mπ, y₁=π/3+nπ, x₂=-π/6+mπ, y₂=-π/3+nπ, m, n∈Z.
Объяснение:
sinxcosy = 1/4
3tgx=tgy
Преобразуем второе уравнение, умножив обе части на cosxcosy
3tgxcosxcosy=tgycosxcosy
3sinxcosy=sinycosx
Вычтем последнее равенство из первого умноженного на 4
4sinxcosy-3sinxcosy = 1-sinycosx
sinxcosy=1-sinycosx
sinxcosy+sinycosx=1
sin(x+y)=1
x+y=π/2+2kπ, k∈Z
x=-y+π/2+2kπ
Подставим в первое уравнение
sin(-y+π/2+2kπ)cosy = 1/4
sin(-y+π/2+2kπ)=sin(-y+π/2)=cosy Формулы приведения
cosy cosy = 1/4
cos²y = 1/4
cos²y =(1+cos2y)/2 Формула половинного аргумента
(1+cos2y)/2=1/4
1+cos2y=1/2
cos2y=-1/2
2y=±2π/3+2nπ
y=±π/3+nπ
y₁=π/3+nπ, y₂=-π/3+nπ
x₁=-y₁+π/2+2kπ=-π/3-nπ+π/2+2kπ=π/6+mπ, m∈Z
x₂=-y₂+π/2+2kπ=π/3-nπ+π/2+2kπ=5π/6+tπ=-π/6+mπ, m∈Z
x₁=π/6+mπ, y₁=π/3+nπ, x₂=-π/6+mπ, y₂=-π/3+nπ, m, n∈Z.
Объяснение:
sinxcosy = 1/4
3tgx=tgy
Преобразуем второе уравнение, умножив обе части на cosxcosy
3tgxcosxcosy=tgycosxcosy
3sinxcosy=sinycosx
Вычтем последнее равенство из первого умноженного на 4
4sinxcosy-3sinxcosy = 1-sinycosx
sinxcosy=1-sinycosx
sinxcosy+sinycosx=1
sin(x+y)=1
x+y=π/2+2kπ, k∈Z
x=-y+π/2+2kπ
Подставим в первое уравнение
sinxcosy = 1/4
sin(-y+π/2+2kπ)cosy = 1/4
sin(-y+π/2+2kπ)=sin(-y+π/2)=cosy Формулы приведения
cosy cosy = 1/4
cos²y = 1/4
cos²y =(1+cos2y)/2 Формула половинного аргумента
(1+cos2y)/2=1/4
1+cos2y=1/2
cos2y=-1/2
2y=±2π/3+2nπ
y=±π/3+nπ
y₁=π/3+nπ, y₂=-π/3+nπ
x₁=-y₁+π/2+2kπ=-π/3-nπ+π/2+2kπ=π/6+mπ, m∈Z
x₂=-y₂+π/2+2kπ=π/3-nπ+π/2+2kπ=5π/6+tπ=-π/6+mπ, m∈Z