Скільки існує звичайних правильних дробів, у яких чисельники і знаменники числа - 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 і 23

1) Представим периметр в таком виде:
, где x — первая сторона, 10-x — вторая сторона.

2) Найдём диагональ d по теореме Пифагора:


3) Составим функцию длины этой диагонали и через производную найдём её экстремум:
 


Дискриминант подкоренного многочлена больше нуля — значит там корней нет. Следовательно, функция обнуляется только в одной точке: x=5.

4) Методом интервалов доказываем, что f(5) — точка минимума (а не максимума, если вдруг).

5) Найдём вторую сторону: . Следовательно, наименьшую диагональ имеет квадрат :) Длина этой диагонали равна

ответ: 5 см и 5 см (квадрат).

Алгоритм такой.

1) Строим чертёж (см. вложение)

2) Используем теорему о том, что общая хорда окружностей — то есть отрезок, проходящий через точки их пересечения, — перпендикулярна отрезку, соединяющему центры окружностей. Эту теорему доказывать нужно или можно использовать без доказательства? Вы её уже доказывали в школе?

3) Найдём площадь треугольника по формуле Герона:
 

4) Согласно пункту 2, отрезок AC перпендикулярен стороне , а значит, является высотой нашего треугольника. Свяжем площадь, вычисленную по формуле Герона, с формулой площади через сторону и высоту:


5) Теперь рассмотрим треугольник :
а) как радиусы малой окружности;
б) как радиусы большой окружности;
в) — общая сторона.
Следовательно, треугольники и равны по трём сторонам, а значит, у них равны и высоты:

6) Следовательно, искомый отрезок .

ответ: (см).