Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы получить трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами? мне нужно полное решение, а не ответ. заранее
Требуется получить трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, обозначим цифру, которая повторяется - k, т.о. число будет записываться так kkk Разложив это число на разрядные слагаемые получим сумму: 100 k + 10k + k = 111*k, где k = 1, 2,,9
Последовательный ряд натуральных чисел, начиная с 1 является возрастающей арифметической прогрессией с первым членом а1 = 1 и разностью d = 1 . А найденная сумма 111*k есть Sn - сумма n-первых членов арифметической прогрессии, которые надо сложить, чтобы получить наше трехзначное число. Тогда по формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии Sn = ( 2а1 + (n-1)*d / 2 ) * n
Подставим сюда числовые значения Sn, а1 и d и найдем n :
111*k = ( 2*1 + (n-1)*1 / 2 ) * n 111*k = ( 2 +n-1 / 2 ) * n 111*k = ( 1 +n / 2 ) * n 111*k = n + n^2 / 2 222*k = n + n^2 n^2 + n - 222*k = 0 D = 1 + 4*222*k = 1 + 888*k Т.к. n - натуральное число, то SQRT( D ) должно быть целым, значит число 1 + 888*k должно быть полным квадратом, т.е заканчиваться цифрой 1, 4, 5, 6 или 9. Соответственно 888*k может заканчиваться на 0, 3, 4, 5, 8.
На 3 или 5 888*k не может заканчиваться. Если 888*k заканчивается на 0, то k=5 Если 888*k заканчивается на 4, то k=3 или k=8. Если 888*k заканчивается на 8, то k=1 или k=6.
Т.о. k может быть 1, 3, 5, 6, 8.
Проверим при каком из этих значений 1 + 888*k является квадратом: при k=1 1 + 888*1 = 889 (нет) при k=3 1 + 888*3 = 2665 (нет) при k=5 1 + 888*5 = 4441 (нет) при k=8 1 + 888*8 = 7105 (нет) при k=6 1 + 888*6 = 5329 (да, тогда SQRT( D ) = SQRT( 5329 ) = 73 )
n =( -1 + 73)/2 = 72/2 = 36
ОТВЕТ: нужно сложить 36 последовательных натуральных чисел, начиная с 1, получится число 666.
100 k + 10k + k = 111*k, где k = 1, 2,,9
Последовательный ряд натуральных чисел, начиная с 1 является возрастающей арифметической прогрессией с первым членом а1 = 1 и разностью d = 1 .
А найденная сумма 111*k есть Sn - сумма n-первых членов арифметической прогрессии, которые надо сложить, чтобы получить наше трехзначное число. Тогда по формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии
Sn = ( 2а1 + (n-1)*d / 2 ) * n
Подставим сюда числовые значения Sn, а1 и d и найдем n :
111*k = ( 2*1 + (n-1)*1 / 2 ) * n
111*k = ( 2 +n-1 / 2 ) * n
111*k = ( 1 +n / 2 ) * n
111*k = n + n^2 / 2
222*k = n + n^2
n^2 + n - 222*k = 0
D = 1 + 4*222*k = 1 + 888*k
Т.к. n - натуральное число, то SQRT( D ) должно быть целым, значит
число 1 + 888*k должно быть полным квадратом, т.е заканчиваться цифрой 1, 4, 5, 6 или 9. Соответственно 888*k может заканчиваться на 0, 3, 4, 5, 8.
На 3 или 5 888*k не может заканчиваться.
Если 888*k заканчивается на 0, то k=5
Если 888*k заканчивается на 4, то k=3 или k=8.
Если 888*k заканчивается на 8, то k=1 или k=6.
Т.о. k может быть 1, 3, 5, 6, 8.
Проверим при каком из этих значений 1 + 888*k является квадратом:
при k=1 1 + 888*1 = 889 (нет)
при k=3 1 + 888*3 = 2665 (нет)
при k=5 1 + 888*5 = 4441 (нет)
при k=8 1 + 888*8 = 7105 (нет)
при k=6 1 + 888*6 = 5329 (да, тогда SQRT( D ) = SQRT( 5329 ) = 73 )
n =( -1 + 73)/2 = 72/2 = 36
ОТВЕТ: нужно сложить 36 последовательных натуральных чисел, начиная с 1, получится число 666.