Сократи дробь 2x2−8x+6x3−27

1. Доказать, что при любом натуральном n значение выражения n 3 + 11n делится на 6. Доказательство.
1) Начало индукции. Проверим утверждение при n = 1. 
    13 + 11∙ 1 = 12 Так как 12 : 6 = 2, то утверждение справедливо при n = 1.                           
2) Индуктивное допущение. Предположим, что утверждение справедливо
 при n = k, т. е. выражение k^3 + 11k делится на 6.  
 3) Индуктивный шаг. Докажем, что  утверждение  выполняется при  n = k +1.    (k+1)^3 + 11(k+1) = k^3 + 3k^ 2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k^3 + 11k) + 3k(k + 1) +12. Первое слагаемое делится на 6. При любом натуральном k одно из чисел
k или ( k + 1) является чётным, поэтому второе слагаемое делится на 6. Третье слагаемое делится на 6. По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом n∈N
    остальные в 1)  и 2)-  делать аналогично.

1) 5sin² x - 5sinx cos x -2cos² x=0
    5sin² x  - 5 sinx cosx - 2cos²x=   0    
     cos² x         cos² x       cos²x    cos²x
5tg²x - 5tgx -2=0
Пусть у=tgx
5y²-5y-2=0
D=25-4*5*(-2)=25+40=65
y₁=5-√65 =0.5 - 0.1√65
       10
y₂=0.5+0.1√65

tgx=0.5-0.1√65
x=arctg(0.5-0.1√65)+πn

tgx=0.5+0.1√65
x=arctg(0.5+0.1√65)+πn

ответ: х=arctg(0.5-0.1√65)+πn
           x=arctg(0.5+0.1√65)+πn

2. (1+sinx)(√2 cosx-1)=0
1+sinx=0            √2cosx-1=0
sinx=-1               √2cosx=1
x=-π + 2πn          cosx= 1 
     2                             √2
                           cosx=√2
                                     2
                           x=+arccos(√2) + 2πn
                                             2
                           x=+ π + 2πn
                                  4
ответ: х= -π +2πn
                 2
           x=+π +2πn
                 4

3) 2sin²x+5sinx=0
   sinx(2sinx+5)=0
   sinx=0          2sinx+5=0
   x=πn            2sinx=-5
                        sinx=-2.5
                       Так как -2,5<-1, то уравнение не имеет решений
ответ: х=πn