В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
Ваня111111222
Ваня111111222
16.11.2022 19:12 •  Алгебра

Сумма s существует и конечна. найдите ее.

Показать ответ
Ответ:
5655к
5655к
08.10.2020 21:39

S = \dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4^2}+\dfrac{3}{4^3}-\dfrac{4}{4^4}+\dfrac{5}{4^5}-\dfrac{6}{4^6}+...+(-1)^{n+1}\dfrac{n}{4^n}+...


Домножаем всю сумму на 4

4S = 1-\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4^2}-\dfrac{4}{4^3}+\dfrac{5}{4^4}-\dfrac{6}{4^5}+...+(-1)^{n+1}\dfrac{n}{4^{n-1}}+...


Складываем почленно 4S и S


4S+S=1+\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4^2}+\dfrac{3}{4^2}+\dfrac{3}{4^3}-\dfrac{4}{4^3}-\dfrac{4}{4^4}+\dfrac{5}{4^4}+\dfrac{5}{4^5}+...\\ \\ ...+(-1)^{n+1}\dfrac{n}{4^n}+(-1)^{n+2}\dfrac{n+1}{4^n}+(-1)^{n+2}\dfrac{n+1}{4^{n+1}}+(-1)^{n+3}\dfrac{n+2}{4^{n+1}}...\\ \\ 5S=1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}-\dfrac{1}{4^3}+\dfrac{1}{4^4}-\dfrac{1}{4^5}+...\\\\...+(-1)^n\dfrac{-n+n+1}{4^n}+(-1)^{n+2}\dfrac{n+1-n-2}{4^{n+1}}...


5S=1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}-\dfrac{1}{4^3}+\dfrac{1}{4^4}-\dfrac{1}{4^5}+...+\dfrac{1}{4^{2k}}-\dfrac{1}{4^{2k+1}}...

Увеличенная в 5 раз исходная сумма свелась к сумме бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 

q = -\dfrac{1}{4}:1=-\dfrac{1}{4} , сумма которой  S_n=\dfrac{b_1}{1-q}


5S=S_n=\dfrac{1}{1+\frac{1}{4}} =1:\dfrac{5}{4}=\dfrac{4}{5}=0,8


5S = 0,8     ⇒      S = 0,16


ответ: S= 0,16

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота