Существует ли функция, у которой в данной точке есть вторая производная, но нет первой?

Воспользуемся равенством

tg α – tg β = tg (α – β) (1 + tg α tg β).

Получаем:

tg x tg 2x tg 3x = tg 3x – tg x + tg 4x – tg 2x,
tg x tg 2x tg 3x = tg 2x (1 + tg x tg 3x) + tg 2x (1 + tg 2x tg 4x),
tg 2x (1 + tg x tg 3x – tg x tg 3x + 1 + tg 2x tg 4x) = 0,
tg 2x = 0 или tg 2x tg 4x = –2.

С первым понятно, что делать. Второе:

tg 2x tg 4x = –2,

tg 2x · 2 tg 2x / (1 – tg² 2x) = –2,
tg² 2x = tg² 2x – 1.

Это равенство невозможно.

Все решения получаются из уравнения tg 2x = 0, то есть 2x = πn, x = πn/2. Значения с нечётными n не подходят (tg x и tg 3x не существуют) , значит, ответ x = πk. Возможно так

Скорость I туриста  -  х  км/ч
Скорость II туриста  -  у км/ч

Первая часть задачи:
Расстояние , пройденное I туристом  - 2х  км
Расстояние , пройденное II туристом  - 2у  км
Расстояние , пройденное двум туристами -  (24-6)= 18 км
Первое уравнение :
2х   + 2у = 18

Вторая часть задачи:
Расстояние, пройденное I туристом  - (2+2) х = 4х  км
Расстояние, пройденное II туристом  -  (2+2)у  = 4у км
Разница в расстоянии  - 4  км
Второе уравнение:
4х - 4у  = 4

Система уравнений:
{2x+2y=18        | :2
{4x - 4y= 4        | :4

{x+y = 9     ⇒ у=9-х
{x-y=1
метод сложения
х+у  +х-у=9+1
2х=10
х=10/2
х=5 (км/ч) скорость I пешехода
у=9-5= 4 (км/ч) скорость II пешехода

ответ: 5 км/ч скорость первого пешехода, 4 км/ч скорость второго пешехода.