Объяснение:
назовем целые положительные числа натуральными
2x²-xy-y²+2x+7y=28 решим уравнение как квадратное относительно х
2x²+x(2-y)+(7y-y²-28)=0
d=(2-y)²-4*2*(7y-y²-28)=4-4y+y²-56y+8y²+224=9y²-60y+228
x₁₋₂=((y-2)±√d)/4
выделим из дискриминанта полный квадрат
d=9y²-60y+228=(3y) ²-2*3y*10+10²-10²+228=(3y-10) ²+128
чтобы корни исходного уравнения были натуральными необходимо чтобы корень из дискриминанта был целым числом
(3y-10) ²+128=a²
Обозначим 3y-10=b
b²+128=a²
a² -b²=128 решим в целых числах
(a-b)(a+b)=128
Сначала решим в натуральных числах
128={1*128;2*64;4*32;8*16;}
Получим системы уравнений которые решим методом сложения
Первая система
a-b=1
a+b=128
решение
2a=129 а-дробное не годится
Вторая система
a-b=2
a+b=64
2a=66; a=33;b=a-2=31;
a=33;b=31
Третья система
a-b=4
a+b=32
2a=36; a=18; b=a-4=14;
a=18;b=14
Четвертая система
a-b=8
a+b=16
2a=24; a=12; b=a-8=4;
a=12;b=4
Для отрицательных чисел
128={-1*(-128);-2*(-64);-4*(-32);-8*(-16);}
Получим такие же ответы только с отрицательными числами
a=-33;b=-31
a=-18;b=-14
a=-12;b=-4
таким образом
b={-4;-14;-31;4;14;31}
вернемся к замене переменных
b=3y-10 тогда
y=(b+10)/3
подставим в эту формулу значения b получим
y={2;-4/3;-7;14/3;8;41/3}
натуральными являются у=2 и y=8
дискриминант = (3y-10) ²+128
d(y₁ )=(3*2-10) ²+128=4²+128=16+128=144
d(y₂)=( (3*8-10) ²+128=14²+128=196+128=324
перейдем к вычислению корней
x₁₋₄=((y-2)±√d)/4
x₁-₂=((y₁-2)±√d(y₁)/4
x₃₋₄=((y₂-2)±√d(y₂)/4
x₁-₂=((2-2)±√144)/4=(±12)/4 вычисляем только натуральный корень х=3
x₃₋₄=((y₂-2)±√d(y₂)/4=((8-2)±√324)/4==(6±18)/4= вычисляем только натуральный корень х=6
получаем следующие натуральные решения (3;2) (6;8)
проверка
2x²-xy-y²+2x+7y=28
1)(3;2)
2*3²-3*2-2²+2*3+7*2=18-8-4+8+14= 32-+8+14=28
2) (6;8)
2*6²-6*8-8²+2*6+7*8=2*36-6*8-64+2*6+7*8= 28
Объяснение:
назовем целые положительные числа натуральными
2x²-xy-y²+2x+7y=28 решим уравнение как квадратное относительно х
2x²+x(2-y)+(7y-y²-28)=0
d=(2-y)²-4*2*(7y-y²-28)=4-4y+y²-56y+8y²+224=9y²-60y+228
x₁₋₂=((y-2)±√d)/4
выделим из дискриминанта полный квадрат
d=9y²-60y+228=(3y) ²-2*3y*10+10²-10²+228=(3y-10) ²+128
чтобы корни исходного уравнения были натуральными необходимо чтобы корень из дискриминанта был целым числом
(3y-10) ²+128=a²
Обозначим 3y-10=b
b²+128=a²
a² -b²=128 решим в целых числах
(a-b)(a+b)=128
Сначала решим в натуральных числах
128={1*128;2*64;4*32;8*16;}
Получим системы уравнений которые решим методом сложения
Первая система
a-b=1
a+b=128
решение
2a=129 а-дробное не годится
Вторая система
a-b=2
a+b=64
решение
2a=66; a=33;b=a-2=31;
a=33;b=31
Третья система
a-b=4
a+b=32
решение
2a=36; a=18; b=a-4=14;
a=18;b=14
Четвертая система
a-b=8
a+b=16
решение
2a=24; a=12; b=a-8=4;
a=12;b=4
a=33;b=31
a=18;b=14
a=12;b=4
Для отрицательных чисел
128={-1*(-128);-2*(-64);-4*(-32);-8*(-16);}
Получим такие же ответы только с отрицательными числами
a=-33;b=-31
a=-18;b=-14
a=-12;b=-4
таким образом
b={-4;-14;-31;4;14;31}
вернемся к замене переменных
b=3y-10 тогда
y=(b+10)/3
подставим в эту формулу значения b получим
y={2;-4/3;-7;14/3;8;41/3}
натуральными являются у=2 и y=8
дискриминант = (3y-10) ²+128
d(y₁ )=(3*2-10) ²+128=4²+128=16+128=144
d(y₂)=( (3*8-10) ²+128=14²+128=196+128=324
перейдем к вычислению корней
x₁₋₄=((y-2)±√d)/4
x₁-₂=((y₁-2)±√d(y₁)/4
x₃₋₄=((y₂-2)±√d(y₂)/4
x₁-₂=((2-2)±√144)/4=(±12)/4 вычисляем только натуральный корень х=3
x₃₋₄=((y₂-2)±√d(y₂)/4=((8-2)±√324)/4==(6±18)/4= вычисляем только натуральный корень х=6
получаем следующие натуральные решения (3;2) (6;8)
проверка
2x²-xy-y²+2x+7y=28
1)(3;2)
2*3²-3*2-2²+2*3+7*2=18-8-4+8+14= 32-+8+14=28
2) (6;8)
2*6²-6*8-8²+2*6+7*8=2*36-6*8-64+2*6+7*8= 28
1) 2sin x-1=0
sinx = 1/2
x = (-1)^n arcsin(1/2) + πk, k∈Z
x = (-1)^n (π/6) + πk, k∈Z
2) cos(2x+П/6)+1=0
cos(2x+П/6) = - 1
2x+П/6 = π + 2πn, n∈Z
2x = π - π/6 + 2πn, n∈Z
2x = 5π/6 + 2πn, n∈Z
x = 5π/12 + πn, n∈Z
3) 6sin²x - 5cosx + 5 = 0
6(1 - cos²x) - 5cosx + 5 = 0
6 - 6cos²x - 5cosx + 5 = 0
6cos²x + 5cosx - 11 = 0
cosx = t, ItI ≤ 1
6t² + 5t - 11 = 0
D = 25 + 4*6*11 = 289
t₁ = (- 5 - 17)/12
t₁ = - 22/12
t₁ = -11/6
t₁ = - 1 (5/6) не удовлетворяет условию ItI ≤ 1
t₂ = (- 5 + 11)/12
t₂ = 1/2
cosx = 1/2
x = (+ -)arccos(1/2) + 2πm, m∈Z
x = (+ -) *(π/3) + 2πm, m∈Z