У якій координатній чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана в результаті повороту точки P(0) (1;0) на кут : 1) 400 градусов 2) 600 градусов 3) - 400 градусов
Что такое возрастание или убывание функции? Объясняем на примере. Пусть у нас есть функция y=2x. Начнем подставлять в нее значения х, и вычислять значения у:
x₁=-1; y₁=2*(-1)=-2;
x₂=-0.5; y₂=2*(-0.5)=-1;
x₃=0; y₃=2*0=0;
x₄=1; y₄=2*1=2.
Смотрим на полученные числа. Видим, что x₄>x₃>x₂>x₁ при этом y₄>y₃>y₂>y₁. Т.е. значения х возрастают от x₁ до x₄, при этом значения у также возрастают от y₁ до y₄. Такая функция называется возрастающей (возрастает х → возрастает у).
Пример убывающей функции: y=-3x.
x₁=-1; y₁=-3*(-1)=3;
x₂=-0.5; y₂=-3*(-0.5)=1.5;
x₃=0; y₃=0;
x₄=1; y₄=-3*1=-3.
Видим, что х возрастает от -1 до +1, а у при этом убывает от +3 до -3 (возрастает х → убывает у). Такая функция называется убывающей.
Но т.к. мы не можем перебрать все значения х (их же бесконечно много) чтобы убедиться, что функция ведет себя одинаково на всей числовой прямой даже для таких простых функций, как в примере (такие функции называются линейными, и на графике они предстваляют собой прямую линию, а бывают еще и более сложные функции, которые возрастают на одном интервале, а на другом убывают), математики нашли универсальный определения возрастания или убывания функции.
Это определение через производную функции: если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X; если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
1. y=2x+3;
найдем производную этой функции:
y'=(2x+3)'=2x'+3'=2+0=2';
y'=2.
Производная больше нуля, мало того: производная вообще не зависить от х. Следовательно функция возрастающая при любом х, говорят: "функция возрастает на интервале от минус бесконечности до плюс бесконечности".
y=2x+3 возрастает на Х ∈ (-∞;+∞).
* График этой функции - прямая, проходящая через две точки: (0;3) и (-3/2;0) Легко построить.
2. y=1-3x;
производная этой функции:
y'=(1-3x)'=0-3=-3 < 0
Здесь производная меньше нуля при любых значениях х (производная - постоянная величина). Функция убывает при любом х.
y=1-3x убывает на Х ∈ (-∞;+∞).
** График этой функции - прямая, проходящая через две точки: (0;1) и (1/3;0)
3. y=3-x²;
производная функции:
y'=(3-x²)'=0-2x=-2x.
Здесь производная зависит от значения х. Мало того: существует точка, где производная равна 0:
y'=0; -2x=0; x=0.
Эта точка называется точкой экстремума. Эта точка "отделяет" интервалы возрастания функции от интервалов убывания.
Получаем два интервала, на которых функция ведет себя совершенно по-разному. Если на одном она возрастает, то на другом убывает.
Эти интервалы:
x∈(-∞;0) и x∈(0;+∞);
Проверим. Возмем первый (левый) интервал x∈(-∞;0) , подставим два каких-либо (любых) числа х из этого интервала, и вычислим значение функции у:
x=-2; y=3-(-2)²=3-4=-1;
x=-1; y=3-(-1)²=3-1=2;
х возрастает (от-2 до -1), при этом у возрастает (от -1 до +2) - функция возрастает на интервале x∈(-∞;0).
Возмем правый интервал x∈(0;+∞), подставим два каких-либо числа х из этого интервала, и вычислим значение функции у:
x=2; y=3-(2)²=3-4=-1;
x=3; y=3-(3)²=3-9=-6;
х возрастает (от 2 до 3), у убывает (от -1 до -6) - функция убывает на интервале x∈(0;+∞).
*** График этой функции - квадратичная парабола y=x², "перевернутая вверх ногами" с вершиной в точке (0;3), пересекает ось ОХ в точках (-√3;0 ) и (√3;0).
План решения такой: в каждом примере сначала проверяем, при каких условиях выражение под корнем не отрицательно, затем решаем уравнение избавляясь от корня путем возведения всего выражения в квадрат, затем проверяем, чтобы решение удовлетворяло условию неотрицательности выражения под корнем. Итак 1) √(x+1)=3 x+1≥0 или x≥-1 возводим уравнение в квадрат: х+1=9 х=8 8≥-1 ответ: 8 2) √(2x+3)=x 2х+3≥0 , откуда х≥-1,5 Кроме того, выражение √(2x+3) всегда ≥0 поэтому х≥0 возводим в квадрат 2х+3=х² x²-2x-3=0 D=2²+4*3=4+12=16 √D=4 x₁=(2-4)/2=-1<0 - не удовлетворяет условию х≥0, отбрасываем х₂=(2+4)/2=3 ответ: 3 3) √(-4x²-16)=2 -4x²-16≥0 4х²≤-16 решения нет 4) x+1=√(8-4x) 8-4x≥0 4х≤8 x≤2 кроме того, x+1≥0 х≥-1 Итого -1≤х≤2 возводим в квадрат (x+1)²=8-4x x²+2x+1=8-4x x²+6x-7=0 D=6²+4*7=36+28=64 √D=8 x₁=(-6-8)/2=-7<0 - не удовлетворяет условию -1≤х≤2, отбрасываем х₂=(-6+8)/2=1 ответ: 1 5) √(2x)+ √(x-3)=-1 √(2x)≥0 и √(x-3)≥0, поэтому их сумма всегда ≥0 решения нет 6)√(x+17)- √(x+1)=2 x+1≥0 x≥-1 кроме того, ясно что √(x+17)>√(x+1), поэтому дополнительных проверок не требуется возводим в квадрат x+17-2√((x+17)(x+1))+x+1=4 2x+18-4=2√((x+17)(x+1)) x+7=√((x+17)(x+1)) понятно, что при x≥-1 x+7>0, поэтому дополнительных условий не требуется, снова возводим в квадрат (x+7)²=(x+17)(x+1) x²-14x+49=x²+x+17x+17 x²-14x+49=x²+18x+17 32=4x x=8 ответ: 8 7) √(1-2x)- √(13+x)= √(x+4) 1-2x≥0 x≤0,5 x+4≥0 x≥-4 (в этим случае 13+x >0) 1-2x≥13+x 3x≤-12 x≤-4 эти условия выполняются только в точке х=-4 Проверим, является эта точка решением уравнения. √(-1-2(-4))-√(13-4)=√(-4+4) √(-1+8)-√7=0 √7-√7=0 Да х=-4 является корнем уравнения ответ: -4 8) √(3-x√(x+4))= √6 x<0 x+4≥0 x≥-4 Итого -4≤х<0 возводим в квадрат 3-x√(x+4)= 6 x√(x+4)=-3 x²(x+4)=9 x³+4x²-9=0 (x+3)(x²+x-3)=0 x₁=-3 x²+x-3=0 D=1²+4*3=1+12=13 √D=√13 x₂=(-1-√13)/2 x₃=(-1+√13)/2>0 отбрасываем ответ: -3 и (-1-√13)/2
9) √(5+ √(x-1))=3 x-1≥0 х≥1 возводим в квадрат 5+ √(x-1)=9 √(х-1)=4 еще раз возводим в квадрат x-1=16 x=17 ответ: 17 10) √(√(x+13))= √(17-3√x) x+13≥0 x≥-13 x≥017-3√x≥0 3√x≤17 √x≤17/3 x≤(17/3)²=289/9=32 1/9 возводим в квадрат √(x+13)= 17-3√x возводим в квадрат х+13=289-102√x+9x 8x-102√x+276=0 4x-51√x+138=0 y=√x y≥0 4y²-51y+138=0 D=51²-4*4*138=393 y₁=(51-√393)/8 x₁=((51-√393)/8)²≈15 y₂=(51+√393)/8 x₂=√((51+√393)/8)²≈78 >32 1/9 - отбрасываем x₁=((51-√393)/8)²=(51²-102√393+393)/64=(2994-102√393)/64= (1497-51√393)/32 ответ: (1497-51√393)/32
Объяснение:
Что такое возрастание или убывание функции? Объясняем на примере. Пусть у нас есть функция y=2x. Начнем подставлять в нее значения х, и вычислять значения у:
x₁=-1; y₁=2*(-1)=-2;
x₂=-0.5; y₂=2*(-0.5)=-1;
x₃=0; y₃=2*0=0;
x₄=1; y₄=2*1=2.
Смотрим на полученные числа. Видим, что x₄>x₃>x₂>x₁ при этом y₄>y₃>y₂>y₁. Т.е. значения х возрастают от x₁ до x₄, при этом значения у также возрастают от y₁ до y₄. Такая функция называется возрастающей (возрастает х → возрастает у).
Пример убывающей функции: y=-3x.
x₁=-1; y₁=-3*(-1)=3;
x₂=-0.5; y₂=-3*(-0.5)=1.5;
x₃=0; y₃=0;
x₄=1; y₄=-3*1=-3.
Видим, что х возрастает от -1 до +1, а у при этом убывает от +3 до -3 (возрастает х → убывает у). Такая функция называется убывающей.
Но т.к. мы не можем перебрать все значения х (их же бесконечно много) чтобы убедиться, что функция ведет себя одинаково на всей числовой прямой даже для таких простых функций, как в примере (такие функции называются линейными, и на графике они предстваляют собой прямую линию, а бывают еще и более сложные функции, которые возрастают на одном интервале, а на другом убывают), математики нашли универсальный определения возрастания или убывания функции.
Это определение через производную функции: если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X; если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
1. y=2x+3;
найдем производную этой функции:
y'=(2x+3)'=2x'+3'=2+0=2';
y'=2.
Производная больше нуля, мало того: производная вообще не зависить от х. Следовательно функция возрастающая при любом х, говорят: "функция возрастает на интервале от минус бесконечности до плюс бесконечности".
y=2x+3 возрастает на Х ∈ (-∞;+∞).
* График этой функции - прямая, проходящая через две точки: (0;3) и (-3/2;0) Легко построить.
2. y=1-3x;
производная этой функции:
y'=(1-3x)'=0-3=-3 < 0
Здесь производная меньше нуля при любых значениях х (производная - постоянная величина). Функция убывает при любом х.
y=1-3x убывает на Х ∈ (-∞;+∞).
** График этой функции - прямая, проходящая через две точки: (0;1) и (1/3;0)
3. y=3-x²;
производная функции:
y'=(3-x²)'=0-2x=-2x.
Здесь производная зависит от значения х. Мало того: существует точка, где производная равна 0:
y'=0; -2x=0; x=0.
Эта точка называется точкой экстремума. Эта точка "отделяет" интервалы возрастания функции от интервалов убывания.
Получаем два интервала, на которых функция ведет себя совершенно по-разному. Если на одном она возрастает, то на другом убывает.
Эти интервалы:
x∈(-∞;0) и x∈(0;+∞);
Проверим. Возмем первый (левый) интервал x∈(-∞;0) , подставим два каких-либо (любых) числа х из этого интервала, и вычислим значение функции у:
x=-2; y=3-(-2)²=3-4=-1;
x=-1; y=3-(-1)²=3-1=2;
х возрастает (от-2 до -1), при этом у возрастает (от -1 до +2) - функция возрастает на интервале x∈(-∞;0).
Возмем правый интервал x∈(0;+∞), подставим два каких-либо числа х из этого интервала, и вычислим значение функции у:
x=2; y=3-(2)²=3-4=-1;
x=3; y=3-(3)²=3-9=-6;
х возрастает (от 2 до 3), у убывает (от -1 до -6) - функция убывает на интервале x∈(0;+∞).
*** График этой функции - квадратичная парабола y=x², "перевернутая вверх ногами" с вершиной в точке (0;3), пересекает ось ОХ в точках (-√3;0 ) и (√3;0).
Итак
1) √(x+1)=3
x+1≥0 или x≥-1
возводим уравнение в квадрат: х+1=9
х=8
8≥-1
ответ: 8
2) √(2x+3)=x
2х+3≥0 , откуда х≥-1,5
Кроме того, выражение √(2x+3) всегда ≥0 поэтому х≥0
возводим в квадрат 2х+3=х²
x²-2x-3=0
D=2²+4*3=4+12=16
√D=4
x₁=(2-4)/2=-1<0 - не удовлетворяет условию х≥0, отбрасываем
х₂=(2+4)/2=3
ответ: 3
3) √(-4x²-16)=2
-4x²-16≥0
4х²≤-16
решения нет
4) x+1=√(8-4x)
8-4x≥0
4х≤8
x≤2
кроме того, x+1≥0
х≥-1
Итого -1≤х≤2
возводим в квадрат
(x+1)²=8-4x
x²+2x+1=8-4x
x²+6x-7=0
D=6²+4*7=36+28=64
√D=8
x₁=(-6-8)/2=-7<0 - не удовлетворяет условию -1≤х≤2, отбрасываем
х₂=(-6+8)/2=1
ответ: 1
5) √(2x)+ √(x-3)=-1
√(2x)≥0 и √(x-3)≥0, поэтому их сумма всегда ≥0
решения нет
6)√(x+17)- √(x+1)=2
x+1≥0 x≥-1
кроме того, ясно что √(x+17)>√(x+1), поэтому дополнительных проверок не требуется
возводим в квадрат
x+17-2√((x+17)(x+1))+x+1=4
2x+18-4=2√((x+17)(x+1))
x+7=√((x+17)(x+1))
понятно, что при x≥-1 x+7>0, поэтому дополнительных условий не требуется, снова возводим в квадрат
(x+7)²=(x+17)(x+1)
x²-14x+49=x²+x+17x+17
x²-14x+49=x²+18x+17
32=4x
x=8
ответ: 8
7) √(1-2x)- √(13+x)= √(x+4)
1-2x≥0 x≤0,5
x+4≥0 x≥-4 (в этим случае 13+x >0)
1-2x≥13+x 3x≤-12 x≤-4
эти условия выполняются только в точке х=-4
Проверим, является эта точка решением уравнения.
√(-1-2(-4))-√(13-4)=√(-4+4)
√(-1+8)-√7=0
√7-√7=0
Да х=-4 является корнем уравнения
ответ: -4
8) √(3-x√(x+4))= √6
x<0
x+4≥0 x≥-4
Итого -4≤х<0
возводим в квадрат
3-x√(x+4)= 6
x√(x+4)=-3
x²(x+4)=9
x³+4x²-9=0
(x+3)(x²+x-3)=0
x₁=-3
x²+x-3=0
D=1²+4*3=1+12=13
√D=√13
x₂=(-1-√13)/2
x₃=(-1+√13)/2>0 отбрасываем
ответ: -3 и (-1-√13)/2
9) √(5+ √(x-1))=3
x-1≥0 х≥1
возводим в квадрат
5+ √(x-1)=9
√(х-1)=4
еще раз возводим в квадрат
x-1=16
x=17
ответ: 17
10) √(√(x+13))= √(17-3√x)
x+13≥0 x≥-13
x≥017-3√x≥0
3√x≤17
√x≤17/3
x≤(17/3)²=289/9=32 1/9
возводим в квадрат
√(x+13)= 17-3√x
возводим в квадрат
х+13=289-102√x+9x
8x-102√x+276=0
4x-51√x+138=0
y=√x y≥0
4y²-51y+138=0
D=51²-4*4*138=393
y₁=(51-√393)/8 x₁=((51-√393)/8)²≈15
y₂=(51+√393)/8 x₂=√((51+√393)/8)²≈78 >32 1/9 - отбрасываем
x₁=((51-√393)/8)²=(51²-102√393+393)/64=(2994-102√393)/64= (1497-51√393)/32
ответ: (1497-51√393)/32