Проверим : имеем уравнение - очевидно, не положительное решение, поэтому данное значение параметра не пойдет в ответ.
При уравнение - квадратное вида . Коэффициенты: (внезапно), , . Уравнение должно иметь корни по условию, т.е. его дискриминант как минимум не должен быть меньше 0.
Ищем дискриминант:
Найдем дискриминант трехчлена :
Это значит что при любых выражение , т.е. исходное уравнение всегда имеет 2 корня.
Могут быть три ситуации: 1) оба корня отрицательные; 2) корни имеют разные знаки; 3) оба корня положительные. Условию (нужно как минимум одно положительное решение) удовлетворяют только 2 и 3.
Проверим второй случай. Если корни имеют разные знаки, то достаточно условия . По теореме Виета Так как в нашем случае , то при любых . Т.е. при любых значениях параметра (кроме ) корни имеют разные знаки. Т.е. 3 случай уже можно не рассматривать, так как оба корня не могут быть положительными.
Замена:![2^{x} = t, \ t 0](/tpl/images/1357/0229/3f641.png)
Имеем квадратичную функцию
, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх.
Найдем возможные точки пересечения параболы с осью абсцисс.
Для этого решим квадратное уравнение:
Найдем дискриминант данного уравнения:
Имеем
, значит данное уравнение имеет ровно 2 корня:
Имеем две точки пересечения параболы с осью абсцисс.
Пусть
. Тогда
. Имеем неверное неравенство. Следовательно, при всех значениях параметра
имеем
.
Тогда квадратичная функция
будет меньше 0 при ![t \in (t_{2}; \ t_{1})](/tpl/images/1357/0229/b60fe.png)
Последнее можно записать так:
Обратная замена:
Если
, то имеем: ![\displaystyle \left \{ {{x \in \mathbb{R}} \atop {x \in \varnothing }} \right.](/tpl/images/1357/0229/e8c37.png)
Решением такой системы неравенств является![x \in \varnothing](/tpl/images/1357/0229/0144f.png)
Если
, то имеем: ![\displaystyle \left \{ {{x \in \mathbb{R} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, } \atop {x < \log_{2}(a+1)}} \right.](/tpl/images/1357/0229/78b09.png)
Решением такой системы неравенств является![x < \log_{2}(a+1)](/tpl/images/1357/0229/7f185.png)
Если
, то имеем: ![\displaystyle \left \{ {{x \log_{2}a \ \ \ \ \ \ \ } \atop {x < \log_{2}(a+1)}} \right.](/tpl/images/1357/0229/2a188.png)
Решением такой системы неравенств является интервал![x \in (\log_{2}a; \ \log_{2}(a+1))](/tpl/images/1357/0229/b007f.png)
еслиПроверим
: имеем уравнение
- очевидно, не положительное решение, поэтому данное значение параметра не пойдет в ответ.
При
уравнение - квадратное вида
. Коэффициенты:
(внезапно),
,
. Уравнение должно иметь корни по условию, т.е. его дискриминант как минимум не должен быть меньше 0.
Ищем дискриминант:
Найдем дискриминант трехчлена
: ![D=8^2-4\cdot4\cdot24](/tpl/images/1357/0756/1da64.png)
Это значит что при любых
выражение ![24a^2+8a+4](/tpl/images/1357/0756/22c30.png)
, т.е. исходное уравнение всегда имеет 2 корня.
Могут быть три ситуации: 1) оба корня отрицательные; 2) корни имеют разные знаки; 3) оба корня положительные. Условию (нужно как минимум одно положительное решение) удовлетворяют только 2 и 3.
Проверим второй случай. Если корни имеют разные знаки, то достаточно условия
. По теореме Виета
Так как в нашем случае
, то
при любых
. Т.е. при любых значениях параметра (кроме
) корни имеют разные знаки. Т.е. 3 случай уже можно не рассматривать, так как оба корня не могут быть положительными.
Значит, нас устраивают любые
, кроме
.
ОТВЕТ: при
.