Уравнение 2a^3+(−1)b^3+4c^3=0. будем решать его в целых числах. пусть целые числа a0, b0, c0 — решение этого уравнения. какое наибольшее значение может принимать a0^2+b0^2+c0^2?
Замена: (a+1)x^2-4x = t получим: t² - 2t + 1-а² = 0 D = 4 - 4(1-a²) > 0 4a² > 0 при a ≠ 0 существуют два корня (t)1;2 = (2 +- √(4a²)) / 2 = 1 +- √(a²) = 1 +- |a|
но вопрос про корни (х)... посмотрим еще и на (a+1)x^2-4x = t (t равно t1 или t2) (a+1)x^2-4x - t = 0 D = 16 + 4*(a+1)*t если D будет > 0, то уравнение при двух разных значениях (t) получит 4 корня для х))) значит, нужно выполнение условия D = 0 ((тогда для t1 --один корень и для t2 --один корень))) 4*(a+1)*t = -16 (a+1)*t = -4 (a+1)*(1 +- |a|) = -4 по определению модуля это выражение будет выглядеть: (a+1)*(1 +- a) = -4 знак + даст полный квадрат, который не может быть равен (-4) остается случай с формулой разность квадратов... a² = 5 a = +-√5
если сначала потребовать единственности корня для параметра (t) D = 0 ⇒ 1-a² = 1 ⇒ a = 0 тогда t² - 2t + 1 = 0 ⇒ (t - 1)² = 0 ⇒ t = 1 = (a+1)x^2-4x ( и а = 0))) x^2 - 4x - 1 = 0 D = 16 + 4 > 0 --условие существования двух корней))) ответ: при а = 0, а = +-√5 (((вроде нигде не ошиблась)))
Х -- скорость третьего авто... скорость сближения третьего и второго -- (х-60) скорость сближения третьего и первого -- (х-80) (((это по сути разность их скоростей))) к моменту выезда третьего второй проехал 60/2 = 30 км --- за счет разности скоростей он должен наверстать эту разность расстояний))) время (т), через которое он догонит второго = 30 / (х-60) к моменту выезда третьего первый проехал 80/2 = 40 км --- за счет разности скоростей он должен наверстать эту разность расстояний))) время (Т), через которое он догонит первого = 40 / (х-80)
Т - т = 5/4 часа (1 час 15 минут))) 40 / (х-80) - 30 / (х-60) = 5/4 4(40(х-60) - 30(х-80)) = 5(х-80)(х-60) 40х = 5х² - 5*140х + 5*4800 х² - 148х + 4800 = 0 D = 4*37*4*37 - 4*4*1200 = 16*169 (x)1;2 = (148 +- 4*13) / 2 = 74 +- 26 x1 = 48 -- не рассматриваем, т.к. скорость третьего авто больше скоростей первых двух, т.е. > 60 км/час x2 = 100 км/час ПРОВЕРКА: за полчаса второй автомобиль проехал 30 км, затем третий автомобиль выехал и через время (т) произошла встреча третий путь х*т второй путь 30+60*т = 60*(т + 1/2) путь от пункта А до места встречи одинаковый))) х*т = 60*т + 30 т = 30 / (х-60) т = 30 / 40 = 3/4 часа -- время, через которое третий догонит второго))) аналогично рассуждая, Т = 40 / (х-80) = 40 / 20 = 2 часа -- время, через которое третий догонит первого))) 2 - 3/4 = (8-3)/4 = 5/4 ---разница времен)))
получим: t² - 2t + 1-а² = 0
D = 4 - 4(1-a²) > 0
4a² > 0
при a ≠ 0 существуют два корня
(t)1;2 = (2 +- √(4a²)) / 2 = 1 +- √(a²) = 1 +- |a|
но вопрос про корни (х)...
посмотрим еще и на (a+1)x^2-4x = t (t равно t1 или t2)
(a+1)x^2-4x - t = 0
D = 16 + 4*(a+1)*t
если D будет > 0, то уравнение при двух разных значениях (t)
получит 4 корня для х)))
значит, нужно выполнение условия D = 0
((тогда для t1 --один корень и для t2 --один корень)))
4*(a+1)*t = -16
(a+1)*t = -4
(a+1)*(1 +- |a|) = -4
по определению модуля это выражение будет выглядеть:
(a+1)*(1 +- a) = -4
знак + даст полный квадрат, который не может быть равен (-4)
остается случай с формулой разность квадратов...
a² = 5
a = +-√5
если сначала потребовать единственности корня для параметра (t)
D = 0 ⇒ 1-a² = 1 ⇒ a = 0
тогда t² - 2t + 1 = 0 ⇒ (t - 1)² = 0 ⇒ t = 1 = (a+1)x^2-4x ( и а = 0)))
x^2 - 4x - 1 = 0
D = 16 + 4 > 0 --условие существования двух корней)))
ответ: при а = 0, а = +-√5
(((вроде нигде не ошиблась)))
скорость сближения третьего и второго -- (х-60)
скорость сближения третьего и первого -- (х-80)
(((это по сути разность их скоростей)))
к моменту выезда третьего
второй проехал 60/2 = 30 км --- за счет разности скоростей он должен
наверстать эту разность расстояний)))
время (т), через которое он догонит второго = 30 / (х-60)
к моменту выезда третьего
первый проехал 80/2 = 40 км --- за счет разности скоростей он должен
наверстать эту разность расстояний)))
время (Т), через которое он догонит первого = 40 / (х-80)
Т - т = 5/4 часа (1 час 15 минут)))
40 / (х-80) - 30 / (х-60) = 5/4
4(40(х-60) - 30(х-80)) = 5(х-80)(х-60)
40х = 5х² - 5*140х + 5*4800
х² - 148х + 4800 = 0
D = 4*37*4*37 - 4*4*1200 = 16*169
(x)1;2 = (148 +- 4*13) / 2 = 74 +- 26
x1 = 48 -- не рассматриваем, т.к. скорость третьего авто больше скоростей первых двух, т.е. > 60 км/час
x2 = 100 км/час
ПРОВЕРКА:
за полчаса второй автомобиль проехал 30 км, затем
третий автомобиль выехал и через время (т) произошла встреча
третий путь х*т
второй путь 30+60*т = 60*(т + 1/2)
путь от пункта А до места встречи одинаковый)))
х*т = 60*т + 30
т = 30 / (х-60)
т = 30 / 40 = 3/4 часа -- время, через которое третий догонит второго)))
аналогично рассуждая,
Т = 40 / (х-80) = 40 / 20 = 2 часа -- время, через которое третий догонит первого)))
2 - 3/4 = (8-3)/4 = 5/4 ---разница времен)))