Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) =18x² +8x³ -3x⁴ (если они существуют) на промежутке [ -2;4]
* * * f (x) =x²(18 +8x -3x²) * * * Непрерывная функция на закрытом интервале(на отрезке) принимает свое наибольшее и наименьшее значения. Функция f(x) =18x² +8x³ -3x⁴ (многочлен третьей степени) непрерывная , интервал закрытый
* * * f (x) =x²(18 +8x -3x²) * * *
Непрерывная функция на закрытом интервале(на отрезке) принимает свое наибольшее и наименьшее значения.
Функция f(x) =18x² +8x³ -3x⁴ (многочлен третьей степени) непрерывная ,
интервал закрытый
f '(x) =(18x² +8x³ -3x⁴) ' =(18x²) ' +(8x³ ) '- (3x⁴) ' =18*(x²) ' +8*(x³ ) ' - 3(x⁴) ' =
=18*2x +8*3x² -3*4x³ = 36x+ 24x² -12x³ = -12x(x²+2x -3) .
---
f '(x) =0 ;
x(x²+2x -3) =0 ; * * * x²+2x -3 =x² - x +3x-3 =x(x-1)+3(x-1) =(x-1)(x+3) * * *
x(x-1)(x+3) =0
x₁ =0 ; x₂ =1 и x₃ = -3 ∉ [ -2;4]
f(0) = 0²*(18 +8*0 -3*0² ) = 0 ;
f(1) = 1²*(18 +8*1 -3*1² ) =23 ;
f(-2) = (-2)²*(18 +8*(-2) -3*(-2)² ) =4*(18 -16 -12) =4*( -10) = -40 ;
f(4) = 4²*(18 +8*4 -3*4² ) =16*(18 +32 -48)= 16*2 = 32 .
max{ 0 ; 23 ; - 40 ; 32 } = 32 ;
min { 0 ; 23 ; - 40 ; 32 } = -40 .
ответ : 32_ наибольшее значения функции * * * при x = 4 * * * ;
- 40_наименьшее значения функции * * * при x = -2 * * *
(т.е. на концах интервала)
Высота ( Х - 1 1/3 ) см
Х( Х - 1 1/3 ) = ( Х + 5 )( Х - 1 1/3 - 5 ) + 50
- 1 1/3 - 5 = - 6 1/3 = - 19/3
Х( Х - ( 4/3 )) = ( Х + 5 )( Х - ( 19/3 )) + 50
Общий знаменатель 3
3х( 3х - 4 ) = 3( Х + 5 )( 3х - 19 ) + 150
9х^2 - 12х = ( 3х + 5 )( 3х - 19 ) + 150
( 3х + 5 )( 3х - 19 ) = 9х^2 - 57х + 15х - 95 = 9х^2 - 42x - 95
9x^2 - 12x = 9x^2 - 42x - 95 + 150
- 12x + 42x = 150 - 95
30x = 55
X = 55/30 = 11/6 = 1 5/6 ( см ) основание
1 5/6 - 1 1/3 = 1 5/6 - 1 2/6 = 3/6 = 1/2 ( см ) высота