В круговой точке, радиус которой равен R, выбрасывается точка. В) найдите вероятность того, что точка находится внутри правильного шестиугольника: а) квадрата; б) правильного треугольника; в) правильного шестиугольника. Вероятность попадания точки внутрь круглой части пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения через круг.
Сначала решаем соотв. однородное уравнение, запишем его характеристическое уравнение
\lambda^2-6\lambda+9=0λ
2
−6λ+9=0
имеем случай кратных действительных корней, значит общее решение однородного уравнения
y(x)=C_1*e^{3x}+C_2*x*e^{3x}y(x)=C
1
∗e
3x
+C
2
∗x∗e
3x
Далее применим метод вариации. Тогда
\begin{gathered} \left( < br / > \begin{array}{cc} < br / > e^{3 x} & e^{3 x} x \\ < br / > 3 e^{3 x} & 3 x e^{3 x}+e^{3 x} \\ < br / > \end{array} < br / > \right) * \left( < br / > \begin{array}{c} < br / > C_1'(x) \\ < br / > C_2'(x) \\ < br / > \end{array} < br / > \right)=\left( < br / > \begin{array}{c} < br / > 0 \\ < br / > 9 x^2-12 x+2 \\ < br / > \end{array} < br / > \right) \end{gathered}
⎝
⎛
<br/>
<br/>e
3x
<br/>3e
3x
<br/>
e
3x
x
3xe
3x
+e
3x
<br/>
⎠
⎞
∗
⎝
⎛
<br/>
<br/>C
1
′
(x)
<br/>C
2
′
(x)
<br/>
<br/>
⎠
⎞
=
⎝
⎛
<br/>
<br/>0
<br/>9x
2
−12x+2
<br/>
<br/>
⎠
⎞
Откуда получим
C_1'(x)=-e^{-3x}*x*(9x^2-12x+2), < br / > C_2'(x)=e^{-3x}*(9x^2-12x+2)C
1
′
(x)=−e
−3x
∗x∗(9x
2
−12x+2),<br/>C
2
′
(x)=e
−3x
∗(9x
2
−12x+2)
Интегрированием находим
C_1(x)=-e^{-3 x}(x^2 - 3 x^3)+A, C_2(x)=e^{-3 x} (2 x - 3 x^2)+BC
1
(x)=−e
−3x
(x
2
−3x
3
)+A,C
2
(x)=e
−3x
(2x−3x
2
)+B
Следовательно общее решение уравнения запишется как (переобозначим константы A и B )
y(x)=(-e^{-3 x}(x^2 - 3 x^3)+C_1)*e^{3x}+(e^{-3 x} (2 x - 3 x^2)+C_2)*x*e^{3x}y(x)=(−e
−3x
(x
2
−3x
3
)+C
1
)∗e
3x
+(e
−3x
(2x−3x
2
)+C
2
)∗x∗e
3x
или
y(x)=C_1*e^{3x}+x*C_2*e^{3x}+x^2y(x)=C
1
∗e
3x
+x∗C
2
∗e
3x
+x
2
Соотв. постоянные для нашей задачи Коши находятся из системы
\left \{ {{y(0)=0} \atop {y'(0)=3}} \right.{
y
′
(0)=3
y(0)=0
Откуда
\left \{ {{C_1=0} \atop {C_2=3}} \right.{
C
2
=3
C
1
=0
3.
sin²φ+2cos²φ / sin²φ-cos²φ, если tgφ = 2
Разделим числитель и знаменатель на cos²φ, получим:
sin²φ+2cos²φ / sin²φ-cos²φ = sin²φ+2cos²φ/cos²φ / sin²φ -cos²φ/cos²φ = sin²φ/cos²φ + 2cos²φ/cos²φ / sin²φ/cos²φ - cos²φ/cos²φ = tg²φ + 2/tg²φ - 1 = 2²+2/2²-1 = 4+2/4-1 = 6/3 = 2
ответ: 2
4.
sinx × cosx + cos²x + 3sin²x = 3
sinx × cosx + cos²x + 3(1-cos²x) = 3
sinx × cosx + cos²x + 3 - 3cos²x = 3
sinx × cosx + cos²x + 3 - 3cos²x - 3 = 0
sinx × cosx + cos²x - 3cos²x = 0
sinx × cosx - 2cos²x = 0
cosx × (sinx - 2cosx) = 0
cosx = 0 или sinx - 2cosx = 0
x₁ = π/2 + πn, n∈Z sinx = 2cosx | : cosx
sinx/cosx = 2cosx/cosx
tgx = 2
x₂ = arctg 2 + πn, n∈Z
ответ: x₁ = π/2 + πn, n∈Z; x₂ = arctg 2 + πn, n∈Z