В олимпиаде по математике приняли участие 30 учеников. Им было предложено 8 задач. Сначала жюри проверили работы участников, выставляя за каждую задачу оценку "решено" или "не решено". Затем для каждой задачи определена ее стоимость -- натуральное число, что равняется количеству участников, ее не решивших. Сумма стоимостей всех задач, решенных тем или другим участником, составила его итоговую оценку. Оказалось, что мальчик Рома получил оценку, ниже чем все остальные. Какую наибольшую оценку он мог получить?
1/p + 1/q +1/pq = 1/n. Преобразуем данное равенство к виду (1 + p + q)/pq =1/n => pq=n(1 + p + q) => 1 + p + q = pq/n. Поскольку 1 + p + q - натуральное число, то pq/n также натуральное, т. е. должно выполняться одно из условий: либо n = p, либо n = q, либо n = 1, либо n = pq. При n = pq, 1 + p + q = 1 => p + q = 0, что невозможно При n = p имеем 1 + p + q = q => 1 + p = q - q = 0, что невозможно. Точно так же при n = q, 1 + p + q = p => 1 + q = p - p = 0, что тоже невозможно. Остается вариант n = 1. Тогда 1 + p + q = pq => 1 = pq - p - q. Положим q < p = p - k, где k - натуральное. Тогда pq - p - q = p*(p - k) - p - p +k = p^2 - pk - 2p + k = 1 => p*(p - 2) - k*(p - 1) = 1 => k*(p - 1) = p*(p - 2) - 1 => k = (p^2 - 2p - 1)/(p - 1) = ((p - 1)*(p + 1) - 2p)/(p-1) = p + 1 - 2p/(p - 1). Видим, что 2p должно нацело делиться на p - 1. Т. е. либо p - 1 = 2p и тогда p = -1, что невозможно, либо p - 1 = 1, либо p - 1 = 2. Тогда p = 2 или p = 3. В свою очередь k = p + 1 - 2p/(p - 1) = 2 + 1 - 4 = 3 - 4 = -1 - не подходит, поскольку k - натуральное. Либо k = 3 + 1 - 6/2 = 4 - 3 = 1. Итак k = 1, значит q = p - k = 3 - 1 = 2. Тогда имеем решения: p = 3, q = 2 или p = 2, q = 3. Действительно, в этом случае pq - p - q = 2*3 - 2 - 3 = 6 - 5 = 1.
ответ: n = 1, p = 3, q = 2 или n = 1, p = 2, q = 3.
(2a - 3b)(a + 2b) = 2a^2 - 3ab + 4ab - 6b^2 = 2a^2 + ab - 6b^2
б) Длина векторного произведения
|(2a - 3b)x(a + 2b)| = |2a - 3b| * |a + 2b| * sin ((2a-3b); (a+2b))
|a| = 5; |b| = 2; (a; b) = 3pi/4; sin(a;b) = √2/2; cos(a;b) = -√2/2
|2a-3b| = √[(2a)^2+(3b)^2-2a*3b*cos(a;b)] = √(100+36+10*6*√2/2) ~ 13,36
|a+2b| = √[a^2+(2b)^2-a*2b*cos(pi-(a;b))] = √(25+16-5*4*√2/2) ~ 5,18
|(2a - 3b)x(a + 2b)| = |2a - 3b| * |a + 2b| * sin((2a-3b); (a+2b)) =
= 13,36*5,18*√2/2 ~ 48,935