В походе участвуют 9 мальчиков и 7 девочек. Сколькими различными учитель может выбрать команду из 4 человек для ночного дежурства, если в команде должно быть хотя бы два мальчика? Решай последовательно:
1. двух мальчиков и двух девочек можно выбрать
2. трёх мальчиков и одну девочку можно выбрать
3. четырёх мальчиков можно выбрать
Всего для дежурства можно выбрать
команд.
Более точно, каждая точка O на прямой разбивает множество точек этой прямой, отличных от O, на два непустых подмножества — полупрямых — так, что точка O лежит между любыми двумя точками прямой, принадлежащими разным подмножествам. Каждое из этих подмножеств называется открытым лучом с началом в O.
Луч с началом в точке O, содержащий точку A, обозначается «луч ОА» [1].
Для любого неотрицательного числа a на заданном луче с началом O существует единственная точка A, находящаяся на расстоянии a от точки O.
В этом случае, можно использовать формулу для суммы нечетных степеней:
x⁵+y⁵=(x+y)(x⁴-x³y+x²y²-xy³+y⁴)=(x+y)((x⁴+2x²y²+y⁴)-xy(x²+2xy+y²)+x²y²)=
=(x+y)((x²+y²)²-xy(x+y)²+(xy)²)=(x+y)(((x+y)²-2xy)²-xy(x+y)²+(xy)²).
Т.е., если обозначить элементарные симметрические многочлены как
σ₁=x+y и σ₂=xy, то получаем
x⁵+y⁵=σ₁((σ₁²-2σ₂)²-σ₂σ₁²+σ₂²)=σ₁((σ₁²-2σ₂)²-σ₂σ₁²+σ₂²)=
=σ₁((σ₁⁴-4σ₁²σ₂+4σ₂²-σ₂σ₁²+σ₂²)=σ₁⁵-5σ₁³σ₂+5σ₁σ₂².
P.S. Для преобразования выражений в скобках несколько раз применялась стандартная школьная процедура выделения полного квадрата. Например, в скобке были слагаемые x⁴+y⁴. К ним добавили и вычли 2x²y². Получилось (x⁴+2x²y²+y⁴)-2x²y², а по формуле квадрата суммы это равно (x²+y²)²-2(xy)². Аналогично, были слагаемые -x³y-xy³. Вынесли за скобки xy, осталось -xy(x²+y²) и опять в скобках выделяем полный квадрат: x²+y²=(x²+2xy+y²)-2xy=(x+y)²-2xy.