В прямоугольную комнату хотят поставить квадратный стол. Надо, чтобы сторона стола была на 180 см меньше одной из стен и на 230 см меньше второй. Найди сторону квадратного стола, если известно, что площадь комнаты на 86500 см^2 больше площади стола
1)2sin²x-sinxcosx-3cos²x=0 |:cos^2 x; cos^2 x не равно 0
2tg^2 x-tgx-3=0
tgx=t
2t^2-t-3=0
D=1+24=25
t1=(1+5)/4=1.5
t2=(1-5)/4=-1
tgx=1.5
x=arctg 1.5+pk; k принадлежит Z
tgx=-1
x=-p/4+pk; k принадлежит Z
2)(sin2x-1)(cos(x-p/4))=0
sin2x=1
2x=p/2+2pk
x=p/4+pk; k принадлежит Z
или
cos(x-p/4)=0
x-p/4=p/2+pk
x=3p/4+pk; k принадлежит Z
3)sin7x-sinx=cos4x
2sin((7x-x)/2)*cos(7x+x)/2)=cos4x
2sin3x*cos4x=cos4x
2sin3x=1
sin3x=1/2
3x=(-1)^k*p/6+pk
x=(-1)^k*p/18+pk/3; k принадлежит Z
или
cos4x=0
4x=p/2+pk
x=p/8+pk/4; k принадлежит Z
4)sinx+cosx=1 |^2
sin^2 x+2sinxcosx+cos^2 x=1
1+sin2x=1
sin2x=0
2x=pk
x=pk/2; k принадлежит Z
Начнем с того, что с применением тригонометрии эта задача решается элементарно. Если М - точка пересечения диагоналей, то MD = MC*tg(15);
Sacd = AC*MD/2 = (2+корень(3))*tg(15)/(2*2) = (2+корень(3))*(1 - cos(30))/(4*sin(30));
Sacd = (1 + корень(3)/2)*(1 - корень(3)/2) = (1 - 3/4) = 1/4;
Я так понял, что вся соль - решить задачу без применения тригонометрии.
Прежде всего, заметим, что расстояние между AD и ВС равно половине стороны ромба а (проводим высоту из точки D на ВС и вспоминаем про угол 30 градусов, высота ромба a/2). Отсюда расстояние от М до стороны ромба (любой) равно а/4; пусть МК перпендикулярно AD, AD = a; МК = a/4; MC = корень(2 + корень(3))/2 = m; MD = x; из подобия МКD и MDC имеем
m/a = a/(4*x); 4*x*m = a^2; но a^2 = m^2 + x^2;
4*x*m = m^2 + x^2; (x/m)^2 - 4*(x/m) + 1 = 0;
оставляем корень, при котором x/m < 1;
x = m*(2 - корень(3));
S = m^2*(2 - корень(3)) = (1/4)*(2 + корень(3))*(2 - корень(3)) = 1/4