В стране 110 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо еë нет. Автомобилист находился в некотором городе, из которого вела ровно одна дорога. Проехав по дороге, он оказался во втором городе, из которого вели уже ровно две дороги. Проехав по одной из них, он оказался в третьем городе, из которого вели уже ровно три дороги, и так далее. В какой-то момент, проехав по одной из дорог, он оказался в N-м городе, из которого вели уже ровно и дорог. На этом автомобилист своë путешествие прекратил. (Для каждого 2 < k < N из к -го города выходило ровно к дорог с учётом той, по которой автомобилист в

этот город приехал.)

Какое наибольшее значение может

1) f(x) = sinx - x
f'(x) = cosx - 1
f'(x) ≥ 0
cosx - 1 ≥ 0
cosx ≥ 1
Неравенство обращается в равенство, т.к. cosx ∈ [-1; 1].
Отсюда делаем вывод, что функция убывает на всей своей области определения.
ответ: убывает на R. 

2) f(x) = √(x² - 1)
u = x² - 1, v = √u
f'(x) = u'·v' = (x² - 1)'·(√u)' = 2x·1/2√u = x/√(x² - 1)
f'(x) ≥ 0
x/[√x² - 1) ≥ 0
Знаменатель всегда больше нуля, т.к. подкоренное выражение - число неотрицательное.
Найдём D(y):
x² - 1 ≥ 0
x ∈ (-∞; -1] U [1; +∞).
Решаем далее неравенство:
x ≥ 0.
С учётом области определения получаем, что при x ∈ [1; +∞) функция будет возрастать (т.к. неравенство будет выполняться), а на (-∞; 1] функция будет убывать (т.к. неравенство не будет выполняться).
ответ: убывает на (-∞; -1], возрастает на [1; +∞). 

у = x² - 2x - 8

y = (x² - 2x + 1) - 1 - 8

y = (x - 1)² - 9

График функции - квадратичная парабола, ветви направлены вверх.

Координаты вершины из уравнения y = (x - 1)² - 9

x₀ = 1;   y₀ = -9.

Нули функции

x² - 2x - 8 = 0    ⇔    (x - 4)(x + 2) = 0

1) x - 4 = 0;   x₁ = 4;

2) x + 2 = 0;   x₂ = -2

Точка пересечения с осью OY для построения графика

x = 0;   y = x² - 2x - 8 = 0² - 2*0 - 8 = -8

График в приложении.

а) x = 3;    y = 3² - 2*3 - 8 = 9 - 6 - 8 = -5

    A (3; -5)

б) y = 3;

     x² - 2x - 8 = 3    ⇔    x² - 2x - 11 = 0

     D/4 = (b/2)² - ac = 1 + 11 = 12

         ≈ 4,5

          ≈ -2,5

     B (-2,5; 3); C(4,5; 3)

в) Нули функции    x₁ = 4;    x₂ = -2

    Точки   D (-2; 0);   F(4; 0)

    Промежутки знакопостоянства функции

    y > 0  при   x ∈ (-∞; -2) ∪ (4; +∞)

    y < 0  при   x ∈ (-2; 4)

г) Функция возрастает при x ∈ [1; +∞)

============================

Графики у = 1/3 x²;   у = 6x - 15

Для поиска точки пересечения нужно уравнять формулы по y

1/3 x² = 6x - 15     | * 3

x² = 18x - 45    ⇔     x² - 18x + 45 = 0

Дискриминант положительный, значит, графики имеют 2 точки пересечения.

1) x₁ = 15;     y₁ = 6*15 - 15 = 5*15 = 75

2) x₂ = 3;      y₂ = 6*3 - 15 = 18 - 15 = 3

ответ: точки пересечения графиков (15; 75); (3; 3)