В таблице представлены результаты тестов по алгебре для 20 студентов. Рассчитайте средний студентов по таблице: : 11, 13, 16, 17, 19; Количество студентов: 5, 5, 4, 4, 2; A) 14,5 B) 15,2 C) 38 D) 13,5 E) 15,5
X≠4 Сразу домножаем на (x-4): |x-4|+(x-4)(x-a)^2=0 Начинаем раскрывать модуль. Если x>4: (x-4)(1+(x-a)^2)=0 В этом случае нет решений для любого а, так как (x-a)^2≠-1 Если x<-4 (4-x)(1-(x-a)^2)=0 -> (x-a)^2=1 -> x=1+a; x=a-1 Не забываем, что мы сейчас рассматриваем случай когда x<4 Поэтому чтобы уравнение имело два корня должно выполняться: {1+a<4 {a-1<4, то есть a<3 Один корень будет тогда когда один x будет попадать в рассматриваемый промежуток, а второй нет. То есть, либо {a+1<4 {a-1>=4 либо {a+1>=4 {a-1<4 Первая система решений не имеет. Решение второй: 3<=a<5 Теперь очевидно, что при а>=5 решений нет вообще.
Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что , получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
Сразу домножаем на (x-4):
|x-4|+(x-4)(x-a)^2=0
Начинаем раскрывать модуль. Если x>4:
(x-4)(1+(x-a)^2)=0
В этом случае нет решений для любого а, так как (x-a)^2≠-1
Если x<-4
(4-x)(1-(x-a)^2)=0 -> (x-a)^2=1 -> x=1+a; x=a-1
Не забываем, что мы сейчас рассматриваем случай когда x<4
Поэтому чтобы уравнение имело два корня должно выполняться:
{1+a<4
{a-1<4, то есть a<3
Один корень будет тогда когда один x будет попадать в рассматриваемый промежуток, а второй нет.
То есть, либо
{a+1<4
{a-1>=4
либо
{a+1>=4
{a-1<4
Первая система решений не имеет. Решение второй:
3<=a<5
Теперь очевидно, что при а>=5 решений нет вообще.
Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например,
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.