находим минимум, максимум и вершину ax² + bx + c = 0 (x = -b/2a)
Функция ограничена снизу(сверху) в том случае, если она не принимает значения меньшие (большие) некоторого числа М
М ≤ f(x) (М ≥ f(x))
y = x² - 4x + 5,25 -1 ≤ x ≤ 4
x верш = -(-4)/2 = 2
y(2) = 4 - 8 + 5.25 = 1,25
y(-1) = (-1)² + (-1)*(-4) + 5.25 = 1 + 4 + 5.25 = 10,25
y(4) = 4² - 4*4 + 5,25 = 5.25
ограничена сверху и снизу 1.25 ≤ y ≤ 10.25
y = -x² - x + 3,75 -5 ≤ x ≤ 1
x верш = -(-1)/2(-1) = -1/2
y(-1/2) = -(-1/2)² +1/2 + 3.75 = -1/4 + 1/2 + 3.75 = 4
y(-5) = -(-5)² + (-1)*(-5) + 3.75 = -25 + 5 + 3.75 = -16,25
y(1) = -(1)² - 1*1 + 3,75 = 1.75
ограничена сверху и снизу -16.25 ≤ y ≤ 4
y = x² + 6x + 6 -6 ≤ x ≤ 0
x верш = -(6)/2 = -3
y(-3) = (-3)² + 6*(-3) + 6 = -3
y(-6) = (-6)² + 6*(-6) + 6 = 36 + -36 + 6 = 6
y(0) = 0 - 0 + 6 = 6
ограничена сверху и снизу -3 ≤ y ≤ 6
3/(2^(2 - x²) -1)² - 4/(2^(2- x²) -1) + 1 ≥ 0 ;
замена : t = 2^(2-x²) -1
3 / t² - 4 / t +1 ≥ 0 ;
(t² - 4t +3) / t² ≥ 0
для квадратного трехчлена t² - 4t +3 t₁=1 корень: 1² - 4*1+3 = 1- 4+3 =0.
t₂ =3/t₁=3/1=1 (или t₂ =4 -1=3)
* * * наконец можно и решить уравнение t² - 4t +3=0 * * *
(t² - 4t +3) / t² ≥ 0 ⇔ (t -1)(t - 3) / t² ≥ 0 .
+ + - +
Объяснение:a)
{ 2^(2-x²) -1 ≤ 1 ; 2^(2-x²) -1 ≠ 0 .⇔ { 2^(2-x²) ≤ 2 ; 2^(2-x²) ≠ 1 . ⇔
{ 2^(2-x²) ≤ 2¹ ; 2^(2-x²) ≠ 2⁰.⇔ {2-x² ≤ 1 ; 2 - x² ≠ 0.⇔{ x² -1 ≥ 0 ; x² ≠ 2⇔
{ (x+1)(x-1) ≥ 0 ; x ≠ ±√2 . ⇒ x∈ ( -∞ ; -√2 ) ∪ (-√2 ; -1] ∪ [1 ; √2) U (√2 ; ∞) .
b)
2^(2-x²) -1 ≥ 3 ⇔ 2^(2-x²) ≥ 4 ⇔2^(2-x²) ≥ 2² ⇔2- x² ≥ 2 ⇔ x² ≤ 0 ⇒ x=0.
ответ: x∈ ( -∞ ; -√2 ) ∪ (-√2 ; -1] ∪ { 0} ∪ [1 ; √2) U (√2 ; ∞) .
находим минимум, максимум и вершину ax² + bx + c = 0 (x = -b/2a)
Функция ограничена снизу(сверху) в том случае, если она не принимает значения меньшие (большие) некоторого числа М
М ≤ f(x) (М ≥ f(x))
y = x² - 4x + 5,25 -1 ≤ x ≤ 4
x верш = -(-4)/2 = 2
y(2) = 4 - 8 + 5.25 = 1,25
y(-1) = (-1)² + (-1)*(-4) + 5.25 = 1 + 4 + 5.25 = 10,25
y(4) = 4² - 4*4 + 5,25 = 5.25
ограничена сверху и снизу 1.25 ≤ y ≤ 10.25
y = -x² - x + 3,75 -5 ≤ x ≤ 1
x верш = -(-1)/2(-1) = -1/2
y(-1/2) = -(-1/2)² +1/2 + 3.75 = -1/4 + 1/2 + 3.75 = 4
y(-5) = -(-5)² + (-1)*(-5) + 3.75 = -25 + 5 + 3.75 = -16,25
y(1) = -(1)² - 1*1 + 3,75 = 1.75
ограничена сверху и снизу -16.25 ≤ y ≤ 4
y = x² + 6x + 6 -6 ≤ x ≤ 0
x верш = -(6)/2 = -3
y(-3) = (-3)² + 6*(-3) + 6 = -3
y(-6) = (-6)² + 6*(-6) + 6 = 36 + -36 + 6 = 6
y(0) = 0 - 0 + 6 = 6
ограничена сверху и снизу -3 ≤ y ≤ 6
3/(2^(2 - x²) -1)² - 4/(2^(2- x²) -1) + 1 ≥ 0 ;
замена : t = 2^(2-x²) -1
3 / t² - 4 / t +1 ≥ 0 ;
(t² - 4t +3) / t² ≥ 0
для квадратного трехчлена t² - 4t +3 t₁=1 корень: 1² - 4*1+3 = 1- 4+3 =0.
t₂ =3/t₁=3/1=1 (или t₂ =4 -1=3)
* * * наконец можно и решить уравнение t² - 4t +3=0 * * *
(t² - 4t +3) / t² ≥ 0 ⇔ (t -1)(t - 3) / t² ≥ 0 .
+ + - +
Объяснение:a)
{ 2^(2-x²) -1 ≤ 1 ; 2^(2-x²) -1 ≠ 0 .⇔ { 2^(2-x²) ≤ 2 ; 2^(2-x²) ≠ 1 . ⇔
{ 2^(2-x²) ≤ 2¹ ; 2^(2-x²) ≠ 2⁰.⇔ {2-x² ≤ 1 ; 2 - x² ≠ 0.⇔{ x² -1 ≥ 0 ; x² ≠ 2⇔
{ (x+1)(x-1) ≥ 0 ; x ≠ ±√2 . ⇒ x∈ ( -∞ ; -√2 ) ∪ (-√2 ; -1] ∪ [1 ; √2) U (√2 ; ∞) .
b)
2^(2-x²) -1 ≥ 3 ⇔ 2^(2-x²) ≥ 4 ⇔2^(2-x²) ≥ 2² ⇔2- x² ≥ 2 ⇔ x² ≤ 0 ⇒ x=0.
ответ: x∈ ( -∞ ; -√2 ) ∪ (-√2 ; -1] ∪ { 0} ∪ [1 ; √2) U (√2 ; ∞) .