В задаче 1 нужно дать ответ и коротко его обосновать.
1) Определите истинность данных утверждений.
a) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти
окружности не имеют общих точек.
b) Катет прямоугольного треугольника, прилежащий к углу 30°, равен половине
гипотенузы.
c) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
d) Любой равнобедренный треугольник можно разрезать на два равных прямоугольных
треугольника.
e) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы
составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.
f) Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.
g) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
h) Расстоянием от точки до прямой называется длина отрезка, соединяющего данную точку
с произвольной точкой данной прямой.
i) Медиана равностороннего треугольника делит его угол на два равных.
В задачах 2 – 5 нужно записать полное решение, включающее «Дано» и чертѐж.
2) Две стороны тупоугольного равнобедренного треугольника равны 6 см и 1 дм. Найдите
периметр этого треугольника.
3) Внешний угол треугольника ABC при вершине A равен 52°. Через вершину B проведена
прямая DE так, что угол ABD =128 , а BC – биссектриса угла ABE. Докажите, что AC = AB.
4) В равнобедренном треугольнике угол при основании в 4 раза меньше угла,
противолежащего основанию, а боковая сторона равна 13 дм. Найдите медиану,
проведѐнную к основанию этого треугольника.
5) В треугольнике ABC угол C прямой. Точка M лежит на стороне AC. Докажите,
что BC < BM < AB.
В задаче 6 нужно выполнить построение с циркуля и линейки, описать
последовательность действий при построении и проанализировать количество решений,
которые имеет данная задача.
6) Постройте угол, равный 30°.
берем производную: f(x)' =2(3x^2)-6=6x^2-6 ищем экстремиумы:
6x^2-6=0; x^2=1; x1=1; х2=-1 у функции 2 экстремиума: (1;0) и (-1;8) определяем методом интервалов возрастание/убывание:
y1=0, y2=8;
возрастает: х=(-беск;-1] и [1;+беск)
убывает: х= (-1;1]
определить четность/нечетность: f(-x)=2(-x)^3-6(-x)+4=-2x^3+6х+4=-(2x^3-6х-4)
- функция не является ни четной ни
нечетной;
ищем точки перегиба:
берем 2 производную:
f(x)"=6(2x)=12x
12х=0; x=0;
y=4; (0;4)
методом интервалов находим выпуклость
вогнутсть:
выпукла: (-беск;0]
вогнута: [О;+беск)
собираем точки:
(1;0), (-1;8), (0,4)
и по ним строим график:
из т. Виета
x1+x2=-1/a
x1*x2=1/a^2-21
---
x1*x2=(x1+x2)^2-21
x1^2+x1*x2+x2^2=21
(x1+x2/2)^2=21-3x^2/4
если правая часть отрицательна уравнение не имеет смысла, найдем те значения x2 при которых уравнение будет иметь смысл.
28-x2^2>0
-5<x2<5 так как корни целые.
Значит максимальное значение которые может принимать x2 это 5 (т.к. система симметрична x1 тоже будет <=5)
осталось понять, при x2=5 есть целые корни или нет, подставим в наше уравнение.
(x1+5/2)^2=3(28-25)/4
x1=(-5+-3)/2=-1;-4.
Ответ: наибольшее число которое может являться корнем это 5.