При котором наибольшем значении параметра а уравнение | x² + 8|х | +12 | = а будет иметь 4 корни ?
ответ: a ∈ ∅
Объяснение: | x² + 8|х| +12 |= а ⇔ | |x|² + 8|х| +12 | = а
замена : t = |x | ≥ 0
| t² + 8t +12 | = а
Ясно,что это уравнение может иметь решение , если а ≥ 0
Фиксируем : а ≥ 0
Если a =0 : t² + 8t +12 = 0
( D = 4 > 0 два корня и они оба отрицательны )
{t₁ + t₂ = - 8 < 0 ; t₁ * t₂ = 12 > 0
* * * t₁ = - 6 ; t₂ = - 2. * * * ⇒ x ∈ ∅
[ t² + 8t+ 12 = - a ; (совокупность
[ t² + 8t + 12 = а . уравнений )
1 . t² + 8t+ 12 = - a
t² + 8t+ 12 + a =0 , D/4 = 4² - (12+a) = 4 - a
D< 0 ⇔ 4 - a < 0 ⇔ a > 4 → нет корней ( действительных )
D= 0 ⇔ 4 - a = 0⇔ a = 4 двукратный корень t₁ = t₂ = - 4 < 0 → исходное уравнение не имеет корней
D > 0 ⇔ 4 - a > 0⇔ а < 4 → два отрицательных корней
t₁ = -4 - √(4 - a) < 0 ; t₂ = - 4 + √(4 - a) < 0
опять → исходное уравнение не имеет действительных корней
- - - - - - - - - - - - - - - -
2. t² + 8t + 12 = а .
t² + 8t + 12 - а = 0 D/4 = 4² - (12- a) = 4+ a
D< 0 ⇔ 4 + a < 0 ⇔ a < - 4 невозможно ( т.е. для всех a > 0 всегда имеет корней )
D = 0 ⇔ 4 + a = 0⇔ a = - 4 двукратный корень t₁ =t₂ = - 4 < 0 → исходное уравнение не имеет действительных корней
D > 0 ⇔ 4 + a > 0 ⇔ a > - 4 → два корня , притом из них один
t₁ = - 4 - √(4 + a) < 0 отрицательный
t₁ = - 4 - √(4 + a) < 0 ; t₂ = - 4 + √ (4 + a)
Второй корень может принимать значение разных знаков и нуль
t₂ < 0 ⇔ - 4 + √ (4 + a) <0 ⇔√ (4 + a) < 4 ⇔ 0 < a< 12
→ исходное уравнение не имеет корней ( x ∈ ∅ )
t₂ = 0 ⇔ - 4 + √ (4 + a) =0 ⇔√ (4 + a) = 4 ⇔ 4 + a = 16 ⇔ a= 12
→ исходное уравнение имеет один корень x = 0
t₂ > 0 ⇔√(4 + a) > 4 ⇔ 4 + a > 16 ⇔ a > 12
* * * а > 12 исходное уравнение имеет 2 корня * * *
резюме
нет корней : x ∈ ∅ , если - ∞ < a < 12 ;
один корень : x = 0 , если a= 12 ;
максимум два корня , если a > 12 .
1.
1)-8/3,2=-2,5 2)-10^3×(1/5)^2=-1000×1/25=-1000/25=-40
3)-4,5-2,35=-6,85
4)-6×1/15-1,4=-0,4-1,4=-1,8
2.
1)5,4x-12-6,2x+ 2,5=-0,8-9,5
2)(2x+6)(4-3,5x)=8x-7x²+24-21x=-7x²-13x +24
3)(b^7×b^5)/9b²=b^12/9b²=b^(12-2)/9=b^10/9
4)(y-4)(y+2)-(y-2)²=y²+2y-4y-8-(y²-4y+4)=2y-4y+4y-8-4=2y-12
5)((a-2b)²-4b²)/a=(a²-4ab+4b²-4b²)/a=a(a-4b)/a=a-4b
6)8ab/(a+8b) ×((a/8b)-(8b/a))=8ab/(a+8b)×(a²-64b²)/8ab=(a²-64b²)/(a+8b)=(a-8b)
3.x=-6-8y
5(-6-8y)-2y=12
-30-40y-2y=12
-42y=42
y=-1
x=2
4.
1)18-(6x-5)=4-7x
18-6x+5-4+7x=0
-6x+7x=-18-5+4
x=-19
2)((3-x)/4+(2+x)/3=0
(3-x)/4=-2-x/3
-8-4x=9-3x
-x=17
x=-17
3)0,5x-3=0,8-1,4x
1,9x=3,8
5.
x- деталей изготовила вторая бригада
x-5- изготовила первая бригада
x-15-изготовила третья бригада
x+x-5+x-15=100
3x=120
x= 40 (2-я бригада)
40-5=35(1-я)
40-15=25(3-я)
При котором наибольшем значении параметра а уравнение | x² + 8|х | +12 | = а будет иметь 4 корни ?
ответ: a ∈ ∅
Объяснение: | x² + 8|х| +12 |= а ⇔ | |x|² + 8|х| +12 | = а
замена : t = |x | ≥ 0
| t² + 8t +12 | = а
Ясно,что это уравнение может иметь решение , если а ≥ 0
Фиксируем : а ≥ 0
Если a =0 : t² + 8t +12 = 0
( D = 4 > 0 два корня и они оба отрицательны )
{t₁ + t₂ = - 8 < 0 ; t₁ * t₂ = 12 > 0
* * * t₁ = - 6 ; t₂ = - 2. * * * ⇒ x ∈ ∅
[ t² + 8t+ 12 = - a ; (совокупность
[ t² + 8t + 12 = а . уравнений )
1 . t² + 8t+ 12 = - a
t² + 8t+ 12 + a =0 , D/4 = 4² - (12+a) = 4 - a
D< 0 ⇔ 4 - a < 0 ⇔ a > 4 → нет корней ( действительных )
D= 0 ⇔ 4 - a = 0⇔ a = 4 двукратный корень t₁ = t₂ = - 4 < 0 → исходное уравнение не имеет корней
D > 0 ⇔ 4 - a > 0⇔ а < 4 → два отрицательных корней
t₁ = -4 - √(4 - a) < 0 ; t₂ = - 4 + √(4 - a) < 0
опять → исходное уравнение не имеет действительных корней
- - - - - - - - - - - - - - - -
2. t² + 8t + 12 = а .
t² + 8t + 12 - а = 0 D/4 = 4² - (12- a) = 4+ a
D< 0 ⇔ 4 + a < 0 ⇔ a < - 4 невозможно ( т.е. для всех a > 0 всегда имеет корней )
D = 0 ⇔ 4 + a = 0⇔ a = - 4 двукратный корень t₁ =t₂ = - 4 < 0 → исходное уравнение не имеет действительных корней
D > 0 ⇔ 4 + a > 0 ⇔ a > - 4 → два корня , притом из них один
t₁ = - 4 - √(4 + a) < 0 отрицательный
t₁ = - 4 - √(4 + a) < 0 ; t₂ = - 4 + √ (4 + a)
Второй корень может принимать значение разных знаков и нуль
t₂ < 0 ⇔ - 4 + √ (4 + a) <0 ⇔√ (4 + a) < 4 ⇔ 0 < a< 12
→ исходное уравнение не имеет корней ( x ∈ ∅ )
t₂ = 0 ⇔ - 4 + √ (4 + a) =0 ⇔√ (4 + a) = 4 ⇔ 4 + a = 16 ⇔ a= 12
→ исходное уравнение имеет один корень x = 0
t₂ > 0 ⇔√(4 + a) > 4 ⇔ 4 + a > 16 ⇔ a > 12
* * * а > 12 исходное уравнение имеет 2 корня * * *
резюме
нет корней : x ∈ ∅ , если - ∞ < a < 12 ;
один корень : x = 0 , если a= 12 ;
максимум два корня , если a > 12 .
1.
1)-8/3,2=-2,5 2)-10^3×(1/5)^2=-1000×1/25=-1000/25=-40
3)-4,5-2,35=-6,85
4)-6×1/15-1,4=-0,4-1,4=-1,8
2.
1)5,4x-12-6,2x+ 2,5=-0,8-9,5
2)(2x+6)(4-3,5x)=8x-7x²+24-21x=-7x²-13x +24
3)(b^7×b^5)/9b²=b^12/9b²=b^(12-2)/9=b^10/9
4)(y-4)(y+2)-(y-2)²=y²+2y-4y-8-(y²-4y+4)=2y-4y+4y-8-4=2y-12
5)((a-2b)²-4b²)/a=(a²-4ab+4b²-4b²)/a=a(a-4b)/a=a-4b
6)8ab/(a+8b) ×((a/8b)-(8b/a))=8ab/(a+8b)×(a²-64b²)/8ab=(a²-64b²)/(a+8b)=(a-8b)
3.x=-6-8y
5(-6-8y)-2y=12
-30-40y-2y=12
-42y=42
y=-1
x=2
4.
1)18-(6x-5)=4-7x
18-6x+5-4+7x=0
-6x+7x=-18-5+4
x=-19
2)((3-x)/4+(2+x)/3=0
(3-x)/4=-2-x/3
-8-4x=9-3x
-x=17
x=-17
3)0,5x-3=0,8-1,4x
1,9x=3,8
x=2
5.
x- деталей изготовила вторая бригада
x-5- изготовила первая бригада
x-15-изготовила третья бригада
x+x-5+x-15=100
3x=120
x= 40 (2-я бригада)
40-5=35(1-я)
40-15=25(3-я)