4
Объяснение:
а)ОДЗ:
{ tan(x) ≥0 (Т.к. подкоренное выражение всегда неотрицательно)
{ cos(x) ≠0 (Т.к. тангенс это синус, делённый на косинус,а на ноль делить нельзя)
Произведение равно нулю,когда хотя бы один из множителей равен нулю
1) 2sin²(x)-3cos(x) = 0
Из основного тригонометрического тождества sin²(x)+cos²(x) = 1 выразим синус
sin²(x) = 1-cos²(x)
2(1-cos²(x))-3cos(x) = 0
2-2cos²(x)-3cos(x) = 0|:(-1)
2cos²(x)+3cos(x)-2 = 0
Пусть cos(x) = t, -1 ≤ t ≤ 1, тогда
2t²+3t-2 = 0
D = 3²-4*2*(-2) = 9+16 = 25 = 5²
Второй корень меньше -1,поэтому мы его рассматривать не будем
Вернёмся к замене
Если t = 0,5, тогда
cos(x) = 0,5
Это равенство распадается на совокупность двух:
[ x = arccos(0,5) + 2пn, n∈Z
[ x = -arccos(0,5) + 2пn, n∈Z
[ x = п/3 + 2пn, n∈Z
[ x = -п/3 + 2пn, n∈Z
Второй корень не подходит по ОДЗ,так что единственное решение этого равенства x = п/3 + 2пn, n∈Z
2)
Дробь равна нулю,когда числитель равен нулю,а знаменатель не равен нулю
{ sin(x) = 0
{ cos(x) ≠ 0
{ х = пn, n∈Z
{ x ≠ п/2 + пn, n∈Z
Пересечений с ОДЗ нет,поэтому наше решение входит в ответ
б) Находим количество решений на отрезке [0;2П] ( см. вложение)
По рисунку мы видим,что у уравнения на данном отрезке 4 корня(0,п/3,п,2п)
|x+4| + |x+1| + 3cosпx = 0
|x+4| + |x+1| = -3cosпx
-3 <= 3cosпx <= 3
cosпx < 0
-3 <= 3cosпx < 0
Oценим модули
x < -4
-x - 4 - x - 1 = - 2x - 5 > - 2*(-4) - 5 = 3 нет решений
Левая часть > 3 > правая часть
x > -1
x + 4 + x + 1 = 2x + 5 > 2*(-1) + 5 = 3
-4 <= x <=-1
x + 4 - x - 1 = 3
Левая часть = 3
-3cosпx = 3
cosпx = -1
πx = π + 2πk k ∈ Z
x = 1 + 2k
-4 <= 1 + 2k <= -1
-5 <= 2k <= -2
-2,5 <= k <= -1
k = -2, -1
x = -3, -1
x1*x2 = -3 * -1 = 3
ответ 3
4
Объяснение:
а)ОДЗ:
{ tan(x) ≥0 (Т.к. подкоренное выражение всегда неотрицательно)
{ cos(x) ≠0 (Т.к. тангенс это синус, делённый на косинус,а на ноль делить нельзя)
Произведение равно нулю,когда хотя бы один из множителей равен нулю
1) 2sin²(x)-3cos(x) = 0
Из основного тригонометрического тождества sin²(x)+cos²(x) = 1 выразим синус
sin²(x) = 1-cos²(x)
2(1-cos²(x))-3cos(x) = 0
2-2cos²(x)-3cos(x) = 0|:(-1)
2cos²(x)+3cos(x)-2 = 0
Пусть cos(x) = t, -1 ≤ t ≤ 1, тогда
2t²+3t-2 = 0
D = 3²-4*2*(-2) = 9+16 = 25 = 5²
Второй корень меньше -1,поэтому мы его рассматривать не будем
Вернёмся к замене
Если t = 0,5, тогда
cos(x) = 0,5
Это равенство распадается на совокупность двух:
[ x = arccos(0,5) + 2пn, n∈Z
[ x = -arccos(0,5) + 2пn, n∈Z
[ x = п/3 + 2пn, n∈Z
[ x = -п/3 + 2пn, n∈Z
Второй корень не подходит по ОДЗ,так что единственное решение этого равенства x = п/3 + 2пn, n∈Z
2)
Дробь равна нулю,когда числитель равен нулю,а знаменатель не равен нулю
{ sin(x) = 0
{ cos(x) ≠ 0
{ х = пn, n∈Z
{ x ≠ п/2 + пn, n∈Z
Пересечений с ОДЗ нет,поэтому наше решение входит в ответ
б) Находим количество решений на отрезке [0;2П] ( см. вложение)
По рисунку мы видим,что у уравнения на данном отрезке 4 корня(0,п/3,п,2п)
|x+4| + |x+1| + 3cosпx = 0
|x+4| + |x+1| = -3cosпx
-3 <= 3cosпx <= 3
cosпx < 0
-3 <= 3cosпx < 0
Oценим модули
x < -4
-x - 4 - x - 1 = - 2x - 5 > - 2*(-4) - 5 = 3 нет решений
Левая часть > 3 > правая часть
x > -1
x + 4 + x + 1 = 2x + 5 > 2*(-1) + 5 = 3
Левая часть > 3 > правая часть
-4 <= x <=-1
x + 4 - x - 1 = 3
Левая часть = 3
-3cosпx = 3
cosпx = -1
πx = π + 2πk k ∈ Z
x = 1 + 2k
-4 <= 1 + 2k <= -1
-5 <= 2k <= -2
-2,5 <= k <= -1
k = -2, -1
x = -3, -1
x1*x2 = -3 * -1 = 3
ответ 3