А) В данном прямоугольном треугольнике два угла равны по 45°, значит треугольник равнобедренный; пусть а - катеты, тогда гипотенуза равна а√2 (можно найти по т. Пифагора); синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, поэтому sin 45°=а/(а√2)=1/√2=2/√2. б) π/4=45°, треугольник равнобедренный; пусть а - катеты, тогда гипотенуза равна а√2, косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому cos π/4=а/(а√2)=1/√2=√2/2. в) sin π/6=sin 30°. Свойство: в прямоугольном треугольнике катет, который лежит напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Пусть катет, лежащий напротив угла в 30°, равен а, тогда гипотенуза равна 2а. Синус угла - отношение противолежащего угла к гипотенузе, поэтому sin π/6=a/(2a)=1/2. г) cos 30°. Рассуждение аналогично примеру в). Пусть а - катет, противолежащий углу 30°, гипотенуза равна 2а, по т.Пифагора катет, прилежащий углу 30° равен а√3. Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому cos 30°=а√3/(2а)=√3/2. д) sin 60°. Второй угол равен 30°. Пусть а - катет, противолежащий углу 30°, гипотенуза равна 2а, второй катет равен а√3. sin 60°=a√3/(2a)=√3/2. е) cos π/3=60°. Второй угол равен 30°. Пусть а - катет, противолежащий углу 30°, гипотенуза равна 2а. cos π/3=a/(2a)=1/2.
б) π/4=45°, треугольник равнобедренный; пусть а - катеты, тогда гипотенуза равна а√2, косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому cos π/4=а/(а√2)=1/√2=√2/2.
в) sin π/6=sin 30°. Свойство: в прямоугольном треугольнике катет, который лежит напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Пусть катет, лежащий напротив угла в 30°, равен а, тогда гипотенуза равна 2а. Синус угла - отношение противолежащего угла к гипотенузе, поэтому sin π/6=a/(2a)=1/2.
г) cos 30°. Рассуждение аналогично примеру в). Пусть а - катет, противолежащий углу 30°, гипотенуза равна 2а, по т.Пифагора катет, прилежащий углу 30° равен а√3. Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому cos 30°=а√3/(2а)=√3/2.
д) sin 60°. Второй угол равен 30°. Пусть а - катет, противолежащий углу 30°, гипотенуза равна 2а, второй катет равен а√3. sin 60°=a√3/(2a)=√3/2.
е) cos π/3=60°. Второй угол равен 30°. Пусть а - катет, противолежащий углу 30°, гипотенуза равна 2а. cos π/3=a/(2a)=1/2.
sin2x -cos²x =0 ;
2sinx*cosx -cos²x =0 ;
cosx(2sinx-cosx) =0 ;
[cosx =0 ; 2sinx-cosx=0⇒x=π/2+πn , x =arcctq2 ; n∈Z.
2)
cos2x +cos²x =0 ;
cos²x - sin²x+cos²x =0 ;
sin²x =0 ⇒sinx =0 ;
x =πn , n∈Z.
3).
2cos⁴x+3cos²x-2=0 ;
* * * замена переменной t = cos²x ; 0≤ t ≤ 1 * * *
2t²+3t-2=0 ; * * * D =3² -4*2*(-2) =25 =5² * * *
t₁ = (-3 -5)/4 = -2 не удов. 0≤ t ≤ 1.
t₂ =(-3+5)/4 =1/2⇒cos²x =1/2⇔(1+cos2x)/2 =1/2⇔cos2x=0 ⇒
2x =π/2+ πn , n∈Z ;
x = π/4+ (π/2)*n , n∈Z.
4).
2cos²x+5sinx-4=0 ;
2(1-sin²x)+5sinx-4=0 ;
2sin²x-5sinx+2=0 ; * * * D =5² -4*2*2 =25 =3² * * *
sinx = (5+3)/4 =2 не умеет решения ;
sinx = (5-3)/4 =1/2 ⇒ x =(-1)^n *(π/6) + πn , n∈Z .
5). 2cos^2x(3p/2-x)-5sin(p/2-x)-4=0 ;
2cos²(3π/2-x)-5sin(π/2-x)-4=0 ;
2sin²x -5cosx -4 = 0 ;
2(1-cos²x) -5cosx -4 = 0 ;
2cos²x +5cosx +2 = 0 ; * * *D =5² -4*2*2 =25 =3² * * *
cos²x +(2+1/2)cosx +1 = 0 ⇒[cosx =2 ; cosx =1/2 .
cosx =1/2 ;
x =±π/3 +2πn , n∈Z .