Яке з тверджень є правильним? А Якщо точка х0 є точкою мінімуму функції f(х), то обов'язково f ' (х0) = 0.
Б Якщо відомо, що для будь-якого х з проміжку [а; с] неперервної функції f (х) виконується
нерівність f ´(х) > 0, то f (а) > f (с).
В Якщо функція f(х) неперервна в точці х0 і похідна f ' (х) при переході через точку х0 змінює знак
із мінуса на плюс, то х0 є точкою максимуму функції f(х).
Г Якщо неперервна функція f(х) має на заданому інтервалі тільки одну точку екстремуму хо і це є
точка мінімуму, то на заданому інтервалі функція набуває свого найменшого значення в точці хо .
1) Доказать:
а^2 - 3а > 5а - 20
Доказательство:
Оценим разность:
(а^2 - 3а) - (5а - 20) = а^2 - 3а - 5а + 20 = а^2 - 8а + 20 = а^2 - 8а + 16 + 4 = (а-4)^2 + 4.
Так как (а-4)^2 ≥ 0 при всех действительных а, то (а-4)^2 + 4 ≥ 4, т.е.
(а^2 - 3а) - (5а - 20) > 0, по определению
а^2 - 3а > 5а - 20, ч.т.д.
2) Доказать:
28а - 32 ≤ 7а^2 - 4
Доказательство:
Оценим разность:
(28а - 32) - (7а^2 - 4) = 28а - 32 - 7а^2 + 4 = -7а^2 + 28а - 28 = -7•(а^2 - 4а + 4) = -7•(а-2)^2.
Так как (а-2)^2 ≥ 0 при всех действительных а, то
-7•(а-2)^2 ≤ 0 при всех действительных а.
Получили, что
(28а - 32) - (7а^2 - 4) ≤ 0, тогда по определению
28а - 32 ≤ 7а^2 - 4, ч.т.д.
Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение с2+6с в следующем виде:
с2+6с=с2+2*3*с.
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа с, а второе - удвоенное произведение с на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3в квадрате, так как
с2 + 2• с • 3 + 3в квадрате = (с + 3)в квадрате.
Преобразуем теперь левую часть уравнения
с2 + 6х - 40 = 0,прибавляя к ней и вычитая 3 в квадрате. Имеем:
с2 + 6с - 40 = с2 + 2• с • 3 + 3в квадрате - 3в квадрате - 40 = (с + 3)в квадрате - 9 - 40 = (с + 3)в квадрате - 49=0
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(с + 3)в квадрате - 49 =0,
(х + 3)в квадрате = 49.
Следовательно, х + 3 - 7 = 0, х1 = -4, или х + 3 = -7, х2 = -10