Задание врагу не пожелаешь) Не приведи господь его на экзамене.
Что такое вообще дробная часть числа ? Это кусочно-разрывная функция. Множество её значений лежит от 0 до 1, причем так: . И состоит она из кусков прямых , при этом . (Имею в виду, что эти прямые (их бесконечно много) по факту находятся на расстоянии 1 друг от друга, но все отрезаются по просто). При этом прямая снизу обрывается при , но без разрыва, а при - сверху и с разрывом, то есть у графика будет бесконечное число выколотых точек вида , .
С этим более-менее разобрались, идем дальше. - описанная выше функция просто переносится по оси OY на единиц (при вверх, при вниз).
Теперь по правой части. Тут попроще.
Пусть у нас
Возведем в квадрат, да поделаем кое-что:
А это ни что иное, как уравнение окружности с центром в радиусом 1. Но так как у нас в условии корень, да с "+", то это верхняя полуокружность.
А теперь начинается самое веселье. Построим график полуокружности и начнем исследовать положение нашей кусочно-разрывной функции относительно этой полуокружности. Сразу отметим, что все, что находится в левой полуплоскости (левее ОY), нам не нужно (это видно по графику полуокружности), поэтому исследуем только правые "кусочки".
Будем исследовать каждый кусочек отдельно, при этом уже третий кусочек нам нужен только в случае , там будет 1 пересечение (1 корень), в остальных случаях пересечений не будет.
Исследуем второй кусочек:
При видно, что пересечений точно нет, при крайняя точка - как раз точка "разрыва", поэтому пересечений не будет, далее будет 1 пересечение, пока левая граница "кусочка" не выйдет из-за полуокружности, это будет при , при этом в нем нет разрыва, поэтому при пересечение ещё будет, поэтому имеем:
при 0 корней, при - 1 корень
Теперь исследуем первый кусочек, он самый неприятный. Видно, что прямая может иметь с частью полуокружности 0,1 или 2 общие точки. При точек будет 1, потому что это только на левом конце прямой, на правом там разрыв.
Далее до некоторого будет 2 точки пересечения, при (это значения параметра, при котором первый кусочек будет касаться полуокружности) будет 1 точка пересечения, при будет 0 точек пересечения. Найдем это
Так как касательных к окружности может быть две, но одна из них к нижней части полуокружности, которой у нас вообще нет, то остается лишь 1 касательная, которую мы и ищем фактически (но когда мы найдем, их окажется 2 как раз из-за окружности, поэтому надо будет взять верхнюю, то есть у которой значение a больше, дальше увидим).
Далее вспомним, что у 1-го кусочка прямая задается как , у 2-го кусочка , у 3-его , а так как мы ищем пересечение как раз 1-го кусочка с полуокружностью, то здесь опустим как раз дробную часть и сможем нормально решить уравнение.
Сразу говорю, у нас получится квадратное уравнение, нам нужно единственное решение, это значит, что .
Вот как раз эти два значения, берем верхнее, то есть большее
Теперь как-то структурируем ответ
При решений 0.
При будет 1 решение с 2-го кусочка.
При будет 1 решение с 1-го кусочка, 1 решение со 2-го и 1 решение с 3-его,то есть 3 решения.
При будет 2 решения с 1-го кусочка и 1 решение с 1-го кусочка, то есть 3 решения.
При будет 1 решение с 1-его кусочка и 1 решение со 2-го, то есть 2 решения.
При будет только 1 решение со 2-го кусочка
При будет 0 решений.
Объединяя все сказанное, получаем, что:
при 0 решений,
при 1 решение,
при 2 решения,
при 3 решения
P.S. К сожалению, наделать миллион графиков не так просто, функция уж больно необычная, особенно для параметра) Надеюсь, что решение более-менее понятно
Смотри прикреплённый файл.
Объяснение:
Формула площади прямоугольного треугольника:
Выразим у через х:
Если х = 1, то у = 2 * 72 : 1 = 144;
если х = 2, то у = 2 * 72 : 2 = 72;
если х = 3, то у = 2 * 72 : 3 = 48;
если х = 4, то у = 2 * 72 : 4 = 36;
если х = 6, то у = 2 * 72 : 6 = 24;
если х = 8, то у = 2 * 72 : 8 = 18;
если х = 12, то у = 2 * 72 : 12 = 12;
если х = 24, то у = 2 * 72 : 24 = 6;
если х = 36, то у = 2 * 72 : 36 = 4;
если х = 48, то у = 2 * 72 : 48 = 3;
если х = 72, то у = 2 * 72 : 72 = 2;
если х = 144, то у = 2 * 72 : 144 = 1.
Задание врагу не пожелаешь) Не приведи господь его на экзамене.
Что такое вообще дробная часть числа
? Это кусочно-разрывная функция. Множество её значений лежит от 0 до 1, причем так:
. И состоит она из кусков прямых
, при этом
. (Имею в виду, что эти прямые (их бесконечно много) по факту находятся на расстоянии 1 друг от друга, но все отрезаются по
просто). При этом прямая снизу обрывается при
, но без разрыва, а при
- сверху и с разрывом, то есть у графика будет бесконечное число выколотых точек вида
,
.
С этим более-менее разобрались, идем дальше.
- описанная выше функция просто переносится по оси OY на
единиц (при
вверх, при
вниз).
Теперь по правой части. Тут попроще.
Пусть у нас![y=\sqrt{2x-x^2}](/tpl/images/1014/4203/2abdb.png)
Возведем в квадрат, да поделаем кое-что:
А это ни что иное, как уравнение окружности с центром в
радиусом 1. Но так как у нас в условии корень, да с "+", то это верхняя полуокружность.
А теперь начинается самое веселье. Построим график полуокружности и начнем исследовать положение нашей кусочно-разрывной функции относительно этой полуокружности. Сразу отметим, что все, что находится в левой полуплоскости (левее ОY), нам не нужно (это видно по графику полуокружности), поэтому исследуем только правые "кусочки".
Будем исследовать каждый кусочек отдельно, при этом уже третий кусочек нам нужен только в случае
, там будет 1 пересечение (1 корень), в остальных случаях пересечений не будет.
Исследуем второй кусочек:
При
видно, что пересечений точно нет, при
крайняя точка - как раз точка "разрыва", поэтому пересечений не будет, далее будет 1 пересечение, пока левая граница "кусочка" не выйдет из-за полуокружности, это будет при
, при этом в нем нет разрыва, поэтому при
пересечение ещё будет, поэтому имеем:
при
0 корней, при
- 1 корень
Теперь исследуем первый кусочек, он самый неприятный. Видно, что прямая может иметь с частью полуокружности 0,1 или 2 общие точки. При
точек будет 1, потому что это только на левом конце прямой, на правом там разрыв.
Далее до некоторого
будет 2 точки пересечения, при
(это значения параметра, при котором первый кусочек будет касаться полуокружности) будет 1 точка пересечения, при
будет 0 точек пересечения. Найдем это ![a_0](/tpl/images/1014/4203/7715b.png)
Так как касательных к окружности может быть две, но одна из них к нижней части полуокружности, которой у нас вообще нет, то остается лишь 1 касательная, которую мы и ищем фактически (но когда мы найдем, их окажется 2 как раз из-за окружности, поэтому надо будет взять верхнюю, то есть у которой значение a больше, дальше увидим).
Далее вспомним, что у 1-го кусочка прямая задается как
, у 2-го кусочка
, у 3-его
, а так как мы ищем пересечение как раз 1-го кусочка с полуокружностью, то здесь опустим как раз дробную часть и сможем нормально решить уравнение.
Сразу говорю, у нас получится квадратное уравнение, нам нужно единственное решение, это значит, что
.
Вот как раз эти два значения, берем верхнее, то есть большее
Теперь как-то структурируем ответ
При
решений 0.
При
будет 1 решение с 2-го кусочка.
При
будет 1 решение с 1-го кусочка, 1 решение со 2-го и 1 решение с 3-его,то есть 3 решения.
При
будет 2 решения с 1-го кусочка и 1 решение с 1-го кусочка, то есть 3 решения.
При
будет 1 решение с 1-его кусочка и 1 решение со 2-го, то есть 2 решения.
При
будет только 1 решение со 2-го кусочка
При
будет 0 решений.
Объединяя все сказанное, получаем, что:
при
0 решений,
при
1 решение,
при
2 решения,
при
3 решения
P.S. К сожалению, наделать миллион графиков не так просто, функция
уж больно необычная, особенно для параметра) Надеюсь, что решение более-менее понятно