Задача 26. Свойство точек (; ), лежащих на координатной плоскости, задано в виде соотношения между их координатами и . Отметьте все точки, обладающие заданным
свойством. В каких четвертях лежат точки, обладающие указанным свойством?
в) − = 0

Пусть первый рабочий выполнит работу за х часов, тогда второй выполнит работу за х+10 часов, за час первый рабочий сделает 1\х работы, второй 1\(х+10) работы, за 12 часов первый сделает 12\х работы, второй 12\(х+10) работы, вместе 12\х+12\(х+10) работы, по условию задачи составляем уравнение:

12\х+12\(х+10)=1

решаем его

12*(x+10+x)=x(x+10)

12*(2x+10)=x^2+10x

24x+120-x^2-10x=0

x^2-14x+120=0

(x-20)(x+6)=0, отсюда

x=-6 (что невозможно так как количевство времени нужное на выполнение первым рабочим не может быть отрицательным числом)

или

x=20

х+10=30

ответ: первый сделате работу за 20 часов, второй за 30 часов

Уравнение решается специальным образом. Найдём такое число C, на которое сможем разделить уравнение

C = √3²+4² = √25 = 5

Делим почленно уравнение на 5:

3/5 sin 2x + 4/5 cos 2x = 1/2

Пусть 3/5 = sin φ, 4/5 = cosφ. Тогда пользуясь формулами сложения переводим это уравнение к такому виду:

sin φ sin 2x + cos φ cos 2x = 1/2

cos(2x - φ) = 1/2

и далее

2x - φ = ±arccos 1/2 + 2πn,n∈Z

2x - φ = ±π/3 + 2πn,n∈Z

2x = ±π/3 + φ + 2πn,n∈Z

x = ±π/6 + φ/2 + πn,n∈Z

Теперь разберёмся с аргументом φ и определим его значение. Рассуждаем таким образом. Так как sin φ > 0, cos φ> 0, то по всей видимости φ находится в 1 четверти. В данной четверти определены такие обратные тригонометрические функции, как arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x. Выбираем любую из этих функций в качестве значений φ. Выберем например φ = arcsin 3/5, тогда получим окончательный корень:

x = ±π/6 + 1/2 arcsin 3/5 + πn,∈Z

Уравнение решено.