x = 0 не является корнем уравнения (-729 ≠ 0). Значит, можно поделить на x³:
Пусть . Тогда
Выполним замену:
Представим t в виде суммы двух действительных чисел: t = b + c. Заметим, что
При подстановке t = b + c мы действительно получим 0 (чтобы убедиться в этом, достаточно проделать действия в обратном порядке), то есть t = b + c является корнем такого уравнения. Попробуем найти такие b и c, чтобы при подстановке этих чисел в последнее уравнение коэффициент перед t был равен -6, а свободный коэффициент был равен 6. Так мы получим нужное уравнение, но заодно и найдём его корень:
Решим второе уравнение. b ≠ 0, иначе это противоречило бы первому уравнению (0 ≠ 2). Домножим на b³ и сделаем замену b³ = z:
По теореме Виета
В первом случае , во втором — . Они отличаются только перестановкой слагаемых, поэтому это один и тот же корень. Получаем:
(см. объяснение)
Объяснение:
Заметим, что
не является корнем уравнения.
Тогда поделим его на
:
Выполним группировку:
Заметим, что если
- корень уравнения, то
тоже.
Тогда единственное решение возможно, если
.
Иными словами, исходное уравнение может иметь ровно один корень тогда, когда
.
Подставляя
в исходное уравнение, получаем, что ![\left[\begin{array}{c}a=1\\a=\dfrac{1}{2}\end{array}\right;](/tpl/images/2009/2272/2a69c.png)
Подставляя
, получаем, что ![\left[\begin{array}{c}a=0\\a=-\dfrac{3}{2}\end{array}\right;](/tpl/images/2009/2272/dc612.png)
Теперь решим уравнение при каждом найденном значении параметра и отберем те, при которых имеется единственное решение.
Выполнив необходимые вычисления, получаем, что каждое значение параметра подходит.
Итого при
исходное уравнение имеет единственное решение.
Задание выполнено!
Объяснение:
x = 0 не является корнем уравнения (-729 ≠ 0). Значит, можно поделить на x³:
Пусть
. Тогда
Выполним замену:
Представим t в виде суммы двух действительных чисел: t = b + c. Заметим, что
При подстановке t = b + c мы действительно получим 0 (чтобы убедиться в этом, достаточно проделать действия в обратном порядке), то есть t = b + c является корнем такого уравнения. Попробуем найти такие b и c, чтобы при подстановке этих чисел в последнее уравнение коэффициент перед t был равен -6, а свободный коэффициент был равен 6. Так мы получим нужное уравнение, но заодно и найдём его корень:
Решим второе уравнение. b ≠ 0, иначе это противоречило бы первому уравнению (0 ≠ 2). Домножим на b³ и сделаем замену b³ = z:
По теореме Виета![\displaystyle \left \{ {{z_1+z_2=-6} \atop {z_1z_2=8}} \right.\Rightarrow z=-4; -2](/tpl/images/2009/2628/7cf8d.png)
В первом случае
, во втором —
. Они отличаются только перестановкой слагаемых, поэтому это один и тот же корень. Получаем: