Запишите в виде степени с основанием 2 (165-166): 165. 1) 2³ : 2; 2) 2⁴ : 4; 3) 64 : 4; 4) 32 : 2⁵.
166. 1) 8:2²;
27
2) 256 : 32;
3)2⁷/2⁵
4)2¹⁰/2​

Надо проследить закономерности.
при n=1   у=|x-1|  - наименьшее значение равно 0 при х=1
при n=2  y=|x-1|+|x-2| - наименьшее значение равно 1 при х∈[1;2]
при n=3  y=|x-1|+|x-2|+|x-3| - наименьшее значение равно 2 при х=2
при n=4  y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4| - наименьшее значение равно 4
 при х∈[2;3]
при n=5  y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5| - наименьшее значение равно 6
при х=3
при n=6  y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6| - наименьшее значение равно 9 при х∈[3;4]

Итак,
при четных n:
при n=2  y=|x-1|+|x-2| - наименьшее значение равно 1 при х∈[1;2]
при n=4  y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4| - наименьшее значение равно 4  при х∈[2;3]
при n=6  y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6| - наименьшее значение равно 9 при х∈[3;4]
...
при n=2k
y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+...+|x-2k|- наименьшее значение равно k² при n∈[k;k+1]
 
при нечетных n:
при n=1   у=|x-1|  - наименьшее значение равно 0 при х=1;
при n=3  y=|x-1|+|x-2|+|x-3| - наименьшее значение равно 2 при х=2
при n=5  y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5| - наименьшее значение равно 6
при х=3
....
при n=2k-1 (нечетное число слагаемых)
y=|x-1|+|x-2|+...+|x-(2k-1)| - наименьшее значение равно 2k при х=k

О т в е т.

при n=2k
y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+...+|x-2k|- наименьшее значение равно k² при n∈[k;k+1]

при n=2k-1 (нечетное число слагаемых)
y=|x-1|+|x-2|+...+|x-(2k-1)| - наименьшее значение равно 2k при х=k

См. рисунки в приложении.

Рациональнее всего так:
(х-1)³-2³=(3х)³-(2х+3)³
По формуле
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

(x-1-2)((x-1)²+2(x-1)+4)=(3x-2x-3)(9x²+3x·(2x+3)+(2x+3)²)
или
(x-3)·(х²-2х+1+2x-2+4)-(x-3)·(9x²+6х²+9х+4x²+12х+9)=0
или
(х-3)·(х²+3-19х²-21х-9)=0
(х-3)(-18х²-21х-6)=0
х-3=0  или  6х²+7х+2=0
х=3                 D=49-4·6·2=1
                  x=(-7-1)/12=-2/3  или  х=(-7+1)/12=-1/2  
ответ. -2/3; -1/2; 3.

Можно и так, но вычисления более громоздкие.
По формуле a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).

(x-1)³+(2x+3)³=[a=x-1; b=2x+3]=
(x-1+2x+3)((x-1)²-(x-1)(2x+3)+(2x+3)²)=(3x+2)((x-1)²-(x-1)(2x+3)+(2x+3)²)

27x³+8=(3x)³+2³=(3x+2)((3x)²-(3x)·2+2²).

Уравнение примет вид
(3x+2)((x-1)²-(x-1)(2x+3)+(2x+3)²)=(3x+2)((3x)²-(3x)·2+2²)
или
(3x+2)·((x-1)²-(x-1)(2x+3)+(2x+3)²) - (3x+2)·((3x)²-(3x)·2+2²) = 0;
(3х+2)·((x-1)²-(x-1)(2x+3)+(2x+3)²-(3x)²+(3x)·2-2²)=0;
3х+2=0  или  (x-1)²-(x-1)(2x+3)+(2x+3)²-(3x)²+(3x)·2-2²=0
х=-2/3    или   х²-2х+1-2х²+2х-3х+3+4х²+12х+9-9х²+6х-4=0
                     -6х²+15х+9=0
                       2х²-5х-3=0
                       D=25+24=49
                       x=(5-7)/4=-1/2  или  х=(5+7)/4=3

О т в е т. -2/3; -1/2; 3.