Для начала упростим имеющееся выражение по формуле произведения синуса на косинус:
В нашем случае получается:
Итак, от мы перешли к . Теперь будем рассматривать период. Говоря простым языком, период - это какое-то определённое значение, пройдя которое мы вернёмся в ту же самую точку, из которой начинали движение. Должно выполняться вот это равенство: , где - это и есть этот период. В нашем случае получается вот так:
Теперь есть два решения этого уравнения. Первый - это муторный и прямолинейный. Просто перенести всё в левую часть, далее через разность синусов и так медленно добираться до периода. Второй намного проще, но надо понимать, что происходит. Дело в том, что мы изменять не можем, так как это переменная, которую нам надо найти. Зато мы можем присвоить любое удобное нам значение. Он ни на что не влияет, равенство в рамке продолжает соблюдаться, поскольку мы заменим икс в обеих частях, но всё станет намного проще. Например, здесь удобнее взять . Нам известно, что , и вся левая часть в него превратится. Получится вот так:
Теперь просто решаем обычное тригонометрическое уравнение и находим .
Итак, вот мы к этому и пришли. Возникает вопрос, что делать с ? В условии задания написано, что нужно найти наименьший положительный период данной функции. Так как , то . Положительное число должно быть больше нуля, и очевидно, что при . Поэтому подставляем наше первое значение: . При нём получаем:
Но не стоит сразу радоваться. Сначала проверим период на соответствие равенству .
Согласно формуле приведения, , отсюда имеем:
Равенство не выполнено, значит, не является периодом данной функции. Проверяем дальше, .
С2+6с-40=0 Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение с2+6с в следующем виде: с2+6с=с2+2*3*с. В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа с, а второе - удвоенное произведение с на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3в квадрате, так как
с2 + 2• с • 3 + 3в квадрате = (с + 3)в квадрате. Преобразуем теперь левую часть уравнения с2 + 6х - 40 = 0,прибавляя к ней и вычитая 3 в квадрате. Имеем: с2 + 6с - 40 = с2 + 2• с • 3 + 3в квадрате - 3в квадрате - 40 = (с + 3)в квадрате - 9 - 40 = (с + 3)в квадрате - 49=0 Таким образом, данное уравнение можно записать так: (с + 3)в квадрате - 49 =0, (х + 3)в квадрате = 49. Следовательно, х + 3 - 7 = 0, х1 = -4, или х + 3 = -7, х2 = -10
Для начала упростим имеющееся выражение по формуле произведения синуса на косинус:
В нашем случае получается:
Итак, от
мы перешли к
. Теперь будем рассматривать период. Говоря простым языком, период - это какое-то определённое значение, пройдя которое мы вернёмся в ту же самую точку, из которой начинали движение. Должно выполняться вот это равенство:
, где
- это и есть этот период. В нашем случае получается вот так:
Теперь есть два решения этого уравнения. Первый - это муторный и прямолинейный. Просто перенести всё в левую часть, далее через разность синусов и так медленно добираться до периода. Второй намного проще, но надо понимать, что происходит. Дело в том, что
мы изменять не можем, так как это переменная, которую нам надо найти. Зато
мы можем присвоить любое удобное нам значение. Он ни на что не влияет, равенство в рамке продолжает соблюдаться, поскольку мы заменим икс в обеих частях, но всё станет намного проще. Например, здесь удобнее взять
. Нам известно, что
, и вся левая часть в него превратится. Получится вот так:
Теперь просто решаем обычное тригонометрическое уравнение и находим
.
Итак, вот мы к этому и пришли. Возникает вопрос, что делать с
? В условии задания написано, что нужно найти наименьший положительный период данной функции. Так как
, то
. Положительное число должно быть больше нуля, и очевидно, что
при
. Поэтому подставляем наше первое значение:
. При нём получаем:
Но не стоит сразу радоваться. Сначала проверим период на соответствие равенству
.
Согласно формуле приведения,
, отсюда имеем:
Равенство не выполнено, значит,
не является периодом данной функции. Проверяем дальше,
.
Точно так же подставляем в
.
По формуле приведения
, поэтому:
А потому
и является искомым периодом.
ответ: В)
Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение с2+6с в следующем виде:
с2+6с=с2+2*3*с.
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа с, а второе - удвоенное произведение с на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3в квадрате, так как
с2 + 2• с • 3 + 3в квадрате = (с + 3)в квадрате.
Преобразуем теперь левую часть уравнения
с2 + 6х - 40 = 0,прибавляя к ней и вычитая 3 в квадрате. Имеем:
с2 + 6с - 40 = с2 + 2• с • 3 + 3в квадрате - 3в квадрате - 40 = (с + 3)в квадрате - 9 - 40 = (с + 3)в квадрате - 49=0
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(с + 3)в квадрате - 49 =0,
(х + 3)в квадрате = 49.
Следовательно, х + 3 - 7 = 0, х1 = -4, или х + 3 = -7, х2 = -10