Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. График квадратичной функции – парабола.
Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим см. в приложении)
Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.
Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).
На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции(также см приложение).
Разберем общий алгоритм на примере y = 2x2 + 3x - 5.
Как строим:
Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
Задание № 1:
Если x<−8 и y<−2, то неравенство их суммы верно x+y<−10.
ответ: да
Задание № 2:
Если x>4 и y>3, то верным неравенством их произведения будет xy>12, значит, xy>7 - неверно.
ответ: нет
Задание № 3:
Сложим неравенства: 5x+y<3x+7 и 3y−4x<11−7x.
Преобразуем каждое неравенство:
1) 5x+y<3x+7 => 5x+y-3x<7 => 2x+y<7
2) 3y−4x<11−7x => 3y−4x+7x<11 => 3x+3y<11
3) А теперь их сложим:
2x+y<7
+
3x+3y<11
5x+4y< 18
Oтвет: 5x+4y<18
Задание № 4:
Неравенство 2x²+5>0 при любых значениях x верно, т.к.
x²≥0 при любых значениях x верно
5>0
Сумма неотрицательного и положительного чисел всегда положительна , т.е. 2x²+5>0 при любых значениях x.
ответ: да
Задание № 5:
Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин больше периметра треугольника.
Это утверждение неверно, т.к. сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника
ответ: нет
Задание № 6:
Известно, что a>b. Расположите в порядке возрастания числа: a+7, b−4, a+3, a, b−1, b.
ответ: b−4; b−1; b; a; a+3; a+7
Задание № 7:
Если a и b - положительные числа, причем a>b, то верно неравенство a²>b².
Докажем.
a²>b²
a²-b²>0
(a+b)(a-b)>0
1) (a+b)>0 верно, т.к. по условию a и b - положительные числа, значит, их сумма положительна
2) Из условия a>b => a-b>0
3) Произведение положительных чисел тоже положительно, т.е.
(a+b)(a-b)>0 или a²>b².
ответ: да
Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. График квадратичной функции – парабола.
Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим см. в приложении)
Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.
Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).
На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции(также см приложение).
Разберем общий алгоритм на примере y = 2x2 + 3x - 5.
Как строим:
Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x2 + 3x - 5.
D = b2 - 4ac = 9 - 4 * 2 * (-5) = 49 > 0
√D = 7
В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:
2x2 + 3x - 5 = 0
Х1=-3+7/4=1
Х2=-3-7/4=-2,5
Подставляем полученные значения :
Х0=-b/2a=-3/4 =-0,75
Y0=D/4a=-49/8=-6,125
Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы(см закреп)