Объяснение:
cosx(2cosx+tgx)=1
cosx(2cosx+(sinx/cosx))=1
2cos²x+sinx=1
2(1-sin²x)+sinx-1=0
2-2sin²x+sinx-1=0
-2sin²x+sinx+1=0
2sin²x-sinx-1=0
sinx=y
2y²-y-1=0 по теореме Виета корни y₁=-1/2 ; y₂=1
1) sinx=-1/2 ; x₁=(-1)ⁿ⁺¹arcsin(-1/2)+пn=(-1)ⁿ⁺¹(-п/6)+пn=
=-(-1)ⁿ⁺¹(п/6)+пn=(-1)ⁿ(п/6)+пn, n∈Z
x₁=(-1)ⁿ(п/6)+пn, n∈Z
2) sinx=1 ; частный случай x=(п/2)+2kп, k∈Z
корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5п/2;-п/2]
1.1) x=(-1)ⁿ(п/6)+пn, n∈Z
n=-1 x₁=-(п/6)-п=-7п/6
n=-2 x₂=(п/6)-2п=-13п/6
1/2) x=(п/2)+2kп
k=-1 x₃=(п/2)-2п=-3п/2
Объяснение:
cosx(2cosx+tgx)=1
cosx(2cosx+(sinx/cosx))=1
2cos²x+sinx=1
2(1-sin²x)+sinx-1=0
2-2sin²x+sinx-1=0
-2sin²x+sinx+1=0
2sin²x-sinx-1=0
sinx=y
2y²-y-1=0 по теореме Виета корни y₁=-1/2 ; y₂=1
1) sinx=-1/2 ; x₁=(-1)ⁿ⁺¹arcsin(-1/2)+пn=(-1)ⁿ⁺¹(-п/6)+пn=
=-(-1)ⁿ⁺¹(п/6)+пn=(-1)ⁿ(п/6)+пn, n∈Z
x₁=(-1)ⁿ(п/6)+пn, n∈Z
2) sinx=1 ; частный случай x=(п/2)+2kп, k∈Z
корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5п/2;-п/2]
1.1) x=(-1)ⁿ(п/6)+пn, n∈Z
n=-1 x₁=-(п/6)-п=-7п/6
n=-2 x₂=(п/6)-2п=-13п/6
1/2) x=(п/2)+2kп
k=-1 x₃=(п/2)-2п=-3п/2
у= - х/ (х² + 169)
Находим первую производную функции:
y ` = {2x²)/(x² + 169)² - 1/(x² + 169)
или
y ` = (x² - 169)/(x² + 169)²
Приравниваем ее к нулю:
(x² - 169)/(x² + 169)² = 0
x² - 169 = 0
x² = 169
x₁ = - 13
x₂ = 13
Вычисляем значения функции
f(-13) = 1/26
f(13) = - 1/26
ответ: fmin = - 1/26 ; fmax = 1/26
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y `` = (- 8x³)/(x² + 169)³ + (6x)/(x² + 169)²
или
y `` = [2x*(- x² + 507)] / (x² + 169)³
Вычисляем:
y ``(- 13) = - 1/4394 < 0
значит эта точка - максимума функции.
y ``(13) = 1/4394 > 0
значит эта точка - минимума функции.