1) 4x² + 7x + 3 = 0 D = 49 - 4*4*3 = 49 - 48 = 1 √D = 1 x1= ( -7+1)/8 = - 6/8 = - 3/4 x2= ( -7- 1)/8 = - 8/8 = -1 Тогда по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители 4x² + 7x + 3=4(х +1)(х + 3/4) 2) x² + bx +4 = 0 1. Предположим, что уравнение имеет два различных корня, один из которых равен 3, тогда по теореме Виета: х1 +х2 = - b => 3 + х2 = -b => х2 = -b - 3 => х1*х2 = 4 3*х2 = 4 х2 = 4/3 ( пусть х1=3 )
=> -b - 3 = 4/3 -b = 4/3 + 3 -b = 4 1/3 b = - 4 1/3 => при b = - 4 1/3 уравнение имеет два корня, один из которых равен 3.
2.Уравнение имеет два различных корня, если D>0, D = b² - 4*1*4 = b² - 16 b² - 16 > 0 (b - 4)(b + 4) > 0 b < -4 или b > 4 Уравнение имеет два различных корня, если b < -4 или b > 4.
D = 49 - 4*4*3 = 49 - 48 = 1
√D = 1
x1= ( -7+1)/8 = - 6/8 = - 3/4
x2= ( -7- 1)/8 = - 8/8 = -1
Тогда по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители
4x² + 7x + 3=4(х +1)(х + 3/4)
2) x² + bx +4 = 0
1. Предположим, что уравнение имеет два различных корня, один из которых равен 3, тогда по теореме Виета:
х1 +х2 = - b => 3 + х2 = -b => х2 = -b - 3 =>
х1*х2 = 4 3*х2 = 4 х2 = 4/3
( пусть х1=3 )
=> -b - 3 = 4/3
-b = 4/3 + 3
-b = 4 1/3
b = - 4 1/3 => при b = - 4 1/3 уравнение имеет два корня, один из которых равен 3.
2.Уравнение имеет два различных корня, если D>0,
D = b² - 4*1*4 = b² - 16
b² - 16 > 0
(b - 4)(b + 4) > 0
b < -4 или b > 4
Уравнение имеет два различных корня, если b < -4 или b > 4.
№ 2:
при каком значении параметра a уравнение |x^2−2x−3|=a имеет три корня?
введем функцию
y=|x^2−2x−3|
рассмотрим функцию без модуля
y=x^2−2x−3
y=(x−3)(х+1)
при х=3 и х=-1 - у=0
х вершины = 2/2=1
у вершины = 1-2-3=-4
после применения модуля график отражается в верхнюю полуплоскость
при а=0 - 2 корня (нули х=3 и х=-1)
при 0< а< 4 - 4 корня (2 от исходной параболы, 2 от отображенной части)
при а=4 - 3 корня (2 от исходной параболы, 1 от вершины х=1)
при а> 4 - 2 корня (от исходной параболы)
ответ: 4