Подскажите , что не правильно : the johnsons said that they would move to their new house in a week. и the girl's mother said that she would have to work every saturday.

The following week.
во втором не вижу ошибки
если в прямой речи там было " I must work" то в косвенной речи будет " she had to work"
У вас нет прямой речи, из которой делали эту косвенную?