Рассмотрите такое решение:
1. P''_{xy}=(3 x^{2} y+ y^3)'_y=3 x^{2} +3 y^{2} ; R''_{yx}=(x^3+3xy^2)'_x=3x^2+3y^2.
Значит, это ДУ - ДУ в полных дифференциалах.
\frac{dF}{dx}=3x^2y+y^3; \frac{dF}{dy} =x^3+3xy^2
2. F= \int\ {(3x^2y+y^3)}\,dx =x^3y+xy^3+g(x);
3. \frac{dF}{dy}=x^3+3xy^2+g'(x)_y
4. c одной стороны, \frac{dF}{dy}=x^3+3xy^2+g'(x)_y
с другой стороны, \frac{dF}{dy}=x^3+3xy^2
Тогда, приравняв оба выражения, получим:
g'(x)_y=0; g(x)=const.
⇒ F=x^3+3xy^2+C
5. y(1)=1 ⇒
F=x^3+3xy^2-3
Рассмотрите такое решение:
1. P''_{xy}=(3 x^{2} y+ y^3)'_y=3 x^{2} +3 y^{2} ; R''_{yx}=(x^3+3xy^2)'_x=3x^2+3y^2.
Значит, это ДУ - ДУ в полных дифференциалах.
\frac{dF}{dx}=3x^2y+y^3; \frac{dF}{dy} =x^3+3xy^2
2. F= \int\ {(3x^2y+y^3)}\,dx =x^3y+xy^3+g(x);
3. \frac{dF}{dy}=x^3+3xy^2+g'(x)_y
4. c одной стороны, \frac{dF}{dy}=x^3+3xy^2+g'(x)_y
с другой стороны, \frac{dF}{dy}=x^3+3xy^2
Тогда, приравняв оба выражения, получим:
g'(x)_y=0; g(x)=const.
⇒ F=x^3+3xy^2+C
5. y(1)=1 ⇒
F=x^3+3xy^2-3