это - одномерное пространство, то есть просто ось ox. любая точка на ней характеризуется одной координатой.
теперь проведём ось oy перпендикулярно оси ox. вот и получилось двумерное пространство, то есть плоскость xoy. любая точка на ней характеризуется двумя координатами - абсциссой и ординатой.
проведём ось oz перпендикулярно осям ox и oy. получится трёхмерное пространство, в котором у любой точки есть абсцисса, ордината и аппликата.
логично, что четвёртая ось, oq, должна быть перпендикулярной осям ox, oy и oz одновременно. но мы не можем точно построить такую ось, и потому остаётся только попытаться представить её себе. у каждой точки в четырёхмерном пространстве есть четыре координаты: x, y, z и q.
теперь посмотрим, как появился четырёхмерный куб.
если сделать параллельный перенос этой линии вдоль оси oy, а потом соединить соответствующие концы двух получившихся линий, получится квадрат.
аналогично, если сделать параллельный перенос квадрата вдоль оси oz и соединить соответствующие вершины, то получится куб.
а если сделать параллельный перенос куба вдоль оси oq и соединить вершины двух этих кубов, то мы получим четырёхмерный куб. кстати, он называется тессеракт .
представим, что в воздухе над поверхностью висит каркасная модель куба, то есть как бы «сделанная из проволоки», а над ней - лампочка. если включить лампочку, обвести карандашом тень от куба, а потом выключить лампочку, то на поверхности будет изображена проекция куба.
перейдём к немного более сложному. ещё раз посмотрите на рисунок с лампочкой: как видите, все лучи сошлись в одной точке. она называется точкой схода и используется для построения перспективной проекции (а бывает и параллельная, когда все лучи параллельны друг другу. результат - не создаётся ощущения объёма, но она легче, и при том если точка схода достаточно сильно удалена от проецируемого объекта, то разница между этими двумя проекциями мало заметна). чтобы спроецировать данную точку на данную плоскость, используя точку схода, нужно провести прямую через точку схода и данную точку, а потом найти точку пересечения получившейся прямой и плоскости. а для того, чтобы спроецировать более сложную фигуру, скажем, куб, нужно спроецировать каждую его вершину, а потом соответствующие точки соединить. следует заметить, что алгоритм проекции пространства на подпространство можно обобщить для случая 4d-> 3d, а не только 3d-> 2d.
теперь поговорим о проекции тессеракта.
слева находится проекция куба на плоскость, а справа - тессеракта на объём. они довольно схожи: проекция куба выглядит как два квадрата, маленький и большой, один внутри другого, и у которых соответствующие вершины соединены линиями. а проекция тессеракта выглядит как два куба, маленький и большой, один внутри другого, и у которых соответствующие вершины соединены. но мы все видели куб, и можем с уверенностью сказать, что и маленький квадрат, и большой, и четыре трапеции сверху, снизу, справа и слева от маленького квадрата, на самом деле являются квадратами, при чём равными. и у тессеракта тоже самое. и большой куб, и маленький куб, и шесть усечённых пирамид по бокам от маленького куба - это всё кубы, при чём равные.
представьте себе, что куб вращается вокруг оси oz. тогда каждая из его вершин описывает окружность вокруг оси oz.
а окружность - фигура плоская. и плоскости каждой из этих окружностей параллельны между собой, и в данном случае параллельны плоскости xoy. то есть мы можем говорить не только о вращении вокруг оси oz, а ещё и о вращении параллельно плоскости xoy.как видим, у точек, которые вращаются параллельно оси xoy меняются только абсцисса и ордината, аппликата же остаётся неизменной и, вообще-то, мы можем говорить о вращении вокруг прямой только тогда, когда имеем дело с трёхмерным пространством. в двумерном всё вращается вокруг точки, в четырёхмерном - вокруг плоскости, в пятимерном пространстве мы говорим о вращении вокруг объёма. и если вращение вокруг точки мы можем себе представить, то вращение вокруг плоскости и объёма - что-то немыслимое. а если будем говорить о вращении параллельно плоскости, то тогда в любом n-мерном пространстве точка может вращаться параллельно плоскости.
многие из вас, вероятно, слышали о матрице поворота. умножив точку на неё, получим точку, повёрнутую параллельно плоскости на угол фи. для двумерного пространства она выглядит так:
как умножать: икс точки, повёрнутой на угол фи = косинус угла фи*икс первоначальной точки минус синус угла фи*игрек первоначальной точки;
xa`=cosф*xa - sinф*ya
ya`=sinф*xa + cosф*ya
, где xa и ya - абсцисса и ордината точки, которую нужно повернуть, xa` и ya` - абсцисса и ордината уже повёрнутой точки
для трёхмерного пространства это матрица обобщается следующим образом:
вращение параллельно плоскости xoy. как видим, координата z не меняется, а меняются только x и y
ответ:
это - одномерное пространство, то есть просто ось ox. любая точка на ней характеризуется одной координатой.
теперь проведём ось oy перпендикулярно оси ox. вот и получилось двумерное пространство, то есть плоскость xoy. любая точка на ней характеризуется двумя координатами - абсциссой и ординатой.
проведём ось oz перпендикулярно осям ox и oy. получится трёхмерное пространство, в котором у любой точки есть абсцисса, ордината и аппликата.
логично, что четвёртая ось, oq, должна быть перпендикулярной осям ox, oy и oz одновременно. но мы не можем точно построить такую ось, и потому остаётся только попытаться представить её себе. у каждой точки в четырёхмерном пространстве есть четыре координаты: x, y, z и q.
теперь посмотрим, как появился четырёхмерный куб.
если сделать параллельный перенос этой линии вдоль оси oy, а потом соединить соответствующие концы двух получившихся линий, получится квадрат.
аналогично, если сделать параллельный перенос квадрата вдоль оси oz и соединить соответствующие вершины, то получится куб.
а если сделать параллельный перенос куба вдоль оси oq и соединить вершины двух этих кубов, то мы получим четырёхмерный куб. кстати, он называется тессеракт .
представим, что в воздухе над поверхностью висит каркасная модель куба, то есть как бы «сделанная из проволоки», а над ней - лампочка. если включить лампочку, обвести карандашом тень от куба, а потом выключить лампочку, то на поверхности будет изображена проекция куба.
перейдём к немного более сложному. ещё раз посмотрите на рисунок с лампочкой: как видите, все лучи сошлись в одной точке. она называется точкой схода и используется для построения перспективной проекции (а бывает и параллельная, когда все лучи параллельны друг другу. результат - не создаётся ощущения объёма, но она легче, и при том если точка схода достаточно сильно удалена от проецируемого объекта, то разница между этими двумя проекциями мало заметна). чтобы спроецировать данную точку на данную плоскость, используя точку схода, нужно провести прямую через точку схода и данную точку, а потом найти точку пересечения получившейся прямой и плоскости. а для того, чтобы спроецировать более сложную фигуру, скажем, куб, нужно спроецировать каждую его вершину, а потом соответствующие точки соединить. следует заметить, что алгоритм проекции пространства на подпространство можно обобщить для случая 4d-> 3d, а не только 3d-> 2d.
теперь поговорим о проекции тессеракта.
слева находится проекция куба на плоскость, а справа - тессеракта на объём. они довольно схожи: проекция куба выглядит как два квадрата, маленький и большой, один внутри другого, и у которых соответствующие вершины соединены линиями. а проекция тессеракта выглядит как два куба, маленький и большой, один внутри другого, и у которых соответствующие вершины соединены. но мы все видели куб, и можем с уверенностью сказать, что и маленький квадрат, и большой, и четыре трапеции сверху, снизу, справа и слева от маленького квадрата, на самом деле являются квадратами, при чём равными. и у тессеракта тоже самое. и большой куб, и маленький куб, и шесть усечённых пирамид по бокам от маленького куба - это всё кубы, при чём равные.
представьте себе, что куб вращается вокруг оси oz. тогда каждая из его вершин описывает окружность вокруг оси oz.
а окружность - фигура плоская. и плоскости каждой из этих окружностей параллельны между собой, и в данном случае параллельны плоскости xoy. то есть мы можем говорить не только о вращении вокруг оси oz, а ещё и о вращении параллельно плоскости xoy.как видим, у точек, которые вращаются параллельно оси xoy меняются только абсцисса и ордината, аппликата же остаётся неизменной и, вообще-то, мы можем говорить о вращении вокруг прямой только тогда, когда имеем дело с трёхмерным пространством. в двумерном всё вращается вокруг точки, в четырёхмерном - вокруг плоскости, в пятимерном пространстве мы говорим о вращении вокруг объёма. и если вращение вокруг точки мы можем себе представить, то вращение вокруг плоскости и объёма - что-то немыслимое. а если будем говорить о вращении параллельно плоскости, то тогда в любом n-мерном пространстве точка может вращаться параллельно плоскости.
многие из вас, вероятно, слышали о матрице поворота. умножив точку на неё, получим точку, повёрнутую параллельно плоскости на угол фи. для двумерного пространства она выглядит так:
как умножать: икс точки, повёрнутой на угол фи = косинус угла фи*икс первоначальной точки минус синус угла фи*игрек первоначальной точки;
xa`=cosф*xa - sinф*ya
ya`=sinф*xa + cosф*ya
, где xa и ya - абсцисса и ордината точки, которую нужно повернуть, xa` и ya` - абсцисса и ордината уже повёрнутой точки
для трёхмерного пространства это матрица обобщается следующим образом:
вращение параллельно плоскости xoy. как видим, координата z не меняется, а меняются только x и y
xa`=cosф*xa - sinф*ya + za*0
ya`=sinф*xa +cosф*ya + za*0
za`=xa*0 + ya*0 + za*1 (по сути, za`=za)
объяснение: