Треугольник АВС описан около окружности. АС=10, периметр P(Δ ABC) = 26, ∠ B=60 найти r вписанной в треугольник окружности
Пусть АВ=х, тогда ВС= P- AB - AC= 26-10-x=16-x
По теореме косинусов: АС²=АВ²+ВС²-2·АВ·ВС·сos ∠ B, 10 ² = x² +(16 - x) ² - 2·x·(16 - x)·1/2, 100 = x ² + 256 - 32 x + x ² - 16 x + x ², 3 x ²- 48 x +156 =0, x ² - 16 x + 52 = 0, D=b² - 4ac= (-16)² - 4·52 = 256 - 208=48 x= (16-4 √3)/2 = 8 - 2√3 или х=(16 + 4 √3)/2 = 8 + 2√3 АВ=8 - 2√3 или АВ = 8 + 2√3 тогда ВС=16-х= 16-(8-2√3)=8+2√3 или ВС=16-(8+2√3)=8-2√3 Таким образом, стороны, ограничивающие угол В равны 8+2√3 и 8-2√3
Площадь треугольника АВС равна половине произведения сторона АВ и ВС на синус угла между ними: S = ( AB· BC·sin ∠ B)/2,=((8+2√3)(8-2√3)·√3/2)/2=(64-12)·√3/4=12√3 р=Р/2=26/2=13 r=S/p=12√3/13
АС=10, периметр P(Δ ABC) = 26, ∠ B=60
найти r вписанной в треугольник окружности
Пусть АВ=х, тогда ВС= P- AB - AC= 26-10-x=16-x
По теореме косинусов:
АС²=АВ²+ВС²-2·АВ·ВС·сos ∠ B,
10 ² = x² +(16 - x) ² - 2·x·(16 - x)·1/2,
100 = x ² + 256 - 32 x + x ² - 16 x + x ²,
3 x ²- 48 x +156 =0,
x ² - 16 x + 52 = 0,
D=b² - 4ac= (-16)² - 4·52 = 256 - 208=48
x= (16-4 √3)/2 = 8 - 2√3 или х=(16 + 4 √3)/2 = 8 + 2√3
АВ=8 - 2√3 или АВ = 8 + 2√3
тогда
ВС=16-х= 16-(8-2√3)=8+2√3 или ВС=16-(8+2√3)=8-2√3
Таким образом, стороны, ограничивающие угол В равны 8+2√3 и 8-2√3
Площадь треугольника АВС равна половине произведения сторона АВ и ВС на синус угла между ними:
S = ( AB· BC·sin ∠ B)/2,=((8+2√3)(8-2√3)·√3/2)/2=(64-12)·√3/4=12√3
р=Р/2=26/2=13
r=S/p=12√3/13