Коло, центр якого належить бісектрисі кута, перетинає кожну з його сторін у двох точках. Доведіть, що відрізки, які відтинає коло на сторонах кута, piвнi
Дано: ∟AKE. О є КС; КС - бісектриса ∟AKE. АК перетинає коло в точках А, В.
АЕ перетинає коло в точках Е, F. Довести: АВ = EF.
Доведення:
Виконаємо додаткову побудову: радіуси ОА, OB, ОЕ, OF.
Розглянемо ∆ВОА - рівнобедрений (ВО = АО).
Побудуємо висоту ОР.
За властивістю рівнобедреного трикутника маємо: ОР - медіана.
За означенням медіани трикутника маємо: ВР = РА = 1/2ВА, отже, ВА = 2ВР.
Аналогічно ∆FOE - рівнобедрений (OF = ОЕ - радіуси).
Будуємо висоту ОН, ОН - медіана. FH = HE = 1/2FE; FE = 2FH.
Розглянемо ∆КРО i ∆КНО - прямокутний. КО - спільна сторона;
∟PKO = ∟HKO. (За умовою КО - бісектриса ∟PKH).
За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ∆КРО = ∆КНО.
Звідси маемо: ОР = ОН.
Розглянемо ∆ВОР i ∆FOH - прямокутний. ВО = OF (радіуси); ОН = ОР.
За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ∆ВОР = ∆FOH.
Звідси маємо: ВР = FH. Отже, якщо ВР = FH, тоді ВА = FE.
Доведено.
АЕ перетинає коло в точках Е, F. Довести: АВ = EF.
Доведення:
Виконаємо додаткову побудову: радіуси ОА, OB, ОЕ, OF.
Розглянемо ∆ВОА - рівнобедрений (ВО = АО).
Побудуємо висоту ОР.
За властивістю рівнобедреного трикутника маємо: ОР - медіана.
За означенням медіани трикутника маємо: ВР = РА = 1/2ВА, отже, ВА = 2ВР.
Аналогічно ∆FOE - рівнобедрений (OF = ОЕ - радіуси).
Будуємо висоту ОН, ОН - медіана. FH = HE = 1/2FE; FE = 2FH.
Розглянемо ∆КРО i ∆КНО - прямокутний. КО - спільна сторона;
∟PKO = ∟HKO. (За умовою КО - бісектриса ∟PKH).
За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ∆КРО = ∆КНО.
Звідси маемо: ОР = ОН.
Розглянемо ∆ВОР i ∆FOH - прямокутний. ВО = OF (радіуси); ОН = ОР.
За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ∆ВОР = ∆FOH.
Звідси маємо: ВР = FH. Отже, якщо ВР = FH, тоді ВА = FE.
Доведено.