При бросании трех игральных костей, по правилу произведения, всего может быть 6x6x6 = 216 элементарных исходов: N = 216. Найдем число т благоприятных исходов, при каждом из которых выпадает сумма в 10 очков. Попробуем перечислить все случаи. Эта ситуация более сложная и нужно быть внимательнее. Пусть на первой кости выпало 1 очко, тогда на двух других костях должно выпасть 9 очков. Получаем следующие исходы: 1+3+6, 1+4+5. Мы выписываем слагаемые по возрастанию, чтобы потом учесть различные способы расположения этих слагаемых и чтобы в дальнейшем избежать повторов. В данном случае все слагаемые каждой из сумм различны, поэтому по правилу произведения для каждой суммы получаем по 6 исходов. В самом деле, для суммы 1+3+6 слагаемое 1 можно поставить на одно из трёх мест, слагаемое 3 на одно из двух оставшихся мест и слагаемое 6 — на единственное оставшееся место. Всего получаем 3x2x1 = 6. Аналогично и для суммы 1+4+5, можем получить 6 различных исходов. (Полезно выписать их все, чтобы ещё раз увидеть, как работает правило произведения.) Итак, с 1 имеем 12 способов. Пусть на первой кости выпало 2 очка, тогда на двух других должно быть 8 очков. Получаем 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4. Опять выписываем слагаемые по возрастанию. Сумма 2+3+5 может быть получена шестью различными способами (это мы уже считали). А вот сумму 2+2+6 получить шестью способами не удастся, поскольку в ней есть одинаковые слагаемые. Слагаемое 6 можно поставить на одно из трёх мест, а два других слагаемых только на одно (фактически на два, но эти случаи небы, чтобы увидеть как они получаются на практике). Итак, с 2-мя очками тоже имеем 12 способов. Пусть на первой кости выпало 3 очка, тогда на двух других должно быть 7 очков. Опять выписываем слагаемые по возрастанию. Получаем 3+3+4. Обратите внимание, что больше комбинаций нет, поскольку невозможно получить сумму 7 с помощью возрастающих слагаемых. (Если взять, например, 3+5, то потом должны написать 2, но 2 < 5 и поэтому её написать нельзя.) Сумму 3+3+4 можно получить тремя способами, рассуждая так же как и в предыдущем случае. Итак, с 3-мя очками имеем 3 способа. Если на первой кости будет выпадать большее, чем 3 число очков, то мы не сможем дополнить это число очков возрастающими слагаемыми. Таким образом, получаем число благоприятных исходов, равное 12+12+3=27, то есть т = 27. Следовательно, искомая вероятность
В таких задачах предполагается, что все шары различимы, например, перенумерованы. Тройку шаров, взятых из урны, можно образовать тремя действиями.
1-е действие. Возьмем один белый шар. Это действие можно совершить 10-ю способами (по числу различных белых шаров в урне).
2-действие. К выбранному белому шару присоединим черный шар, который можно взять 15-ю различными способами (по числу различных черных шаров в урне).
3-е действие. К выбранной паре присоединим красный шар, который можно взять 20-ю различными способами (по числу красных шаров в урне).
Таким образом, можно образовать различные тройки разноцветных шаров, причем порядок действия при этом не играет роли. Число различных способов выбора троек разноцветных шаров совпадает с числом различных трех действий и по правилу умножения равно 10*15*20 = 3000.
Более сложные примеры будут приведены ниже.
При бросании трех игральных костей, по правилу произведения, всего может быть 6x6x6 = 216 элементарных исходов: N = 216.
Найдем число т благоприятных исходов, при каждом из которых выпадает сумма в 10 очков. Попробуем перечислить все случаи. Эта ситуация более сложная и нужно быть внимательнее.
Пусть на первой кости выпало 1 очко, тогда на двух других костях должно выпасть 9 очков. Получаем следующие исходы: 1+3+6, 1+4+5. Мы выписываем слагаемые по возрастанию, чтобы потом учесть различные способы расположения этих слагаемых и чтобы в дальнейшем избежать повторов. В данном случае все слагаемые каждой из сумм различны, поэтому по правилу произведения для каждой суммы получаем по 6 исходов. В самом деле, для суммы 1+3+6 слагаемое 1 можно поставить на одно из трёх мест, слагаемое 3 на одно из двух оставшихся мест и слагаемое 6 — на единственное оставшееся место. Всего получаем 3x2x1 = 6. Аналогично и для суммы 1+4+5, можем получить 6 различных исходов. (Полезно выписать их все, чтобы ещё раз увидеть, как работает правило произведения.) Итак, с 1 имеем 12 способов.
Пусть на первой кости выпало 2 очка, тогда на двух других должно быть 8 очков. Получаем 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4. Опять выписываем слагаемые по возрастанию. Сумма 2+3+5 может быть получена шестью различными способами (это мы уже считали). А вот сумму 2+2+6 получить шестью способами не удастся, поскольку в ней есть одинаковые слагаемые. Слагаемое 6 можно поставить на одно из трёх мест, а два других слагаемых только на одно (фактически на два, но эти случаи небы, чтобы увидеть как они получаются на практике). Итак, с 2-мя очками тоже имеем 12 способов.
Пусть на первой кости выпало 3 очка, тогда на двух других должно быть 7 очков. Опять выписываем слагаемые по возрастанию. Получаем 3+3+4. Обратите внимание, что больше комбинаций нет, поскольку невозможно получить сумму 7 с помощью возрастающих слагаемых. (Если взять, например, 3+5, то потом должны написать 2, но 2 < 5 и поэтому её написать нельзя.) Сумму 3+3+4 можно получить тремя способами, рассуждая так же как и в предыдущем случае. Итак, с 3-мя очками имеем 3 способа.
Если на первой кости будет выпадать большее, чем 3 число очков, то мы не сможем дополнить это число очков возрастающими слагаемыми. Таким образом, получаем число благоприятных исходов, равное 12+12+3=27, то есть т = 27. Следовательно, искомая вероятность
1-е действие. Возьмем один белый шар. Это действие можно совершить 10-ю способами (по числу различных белых шаров в урне).
2-действие. К выбранному белому шару присоединим черный шар, который можно взять 15-ю различными способами (по числу различных черных шаров в урне).
3-е действие. К выбранной паре присоединим красный шар, который можно взять 20-ю различными способами (по числу красных шаров в урне).
Таким образом, можно образовать различные тройки разноцветных шаров, причем порядок действия при этом не играет роли. Число различных способов выбора троек разноцветных шаров совпадает с числом различных трех действий и по правилу умножения равно 10*15*20 = 3000.
Более сложные примеры будут приведены ниже.