Ответ: 21.
Решение. Будем перекладывать камни из первой кучке. Так как в остальных кучках разное число камней, то и добавить к ним нужно разное число. То есть, не менее, чем 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 камней. Итак, даже в самой маленькой кучке не менее 15 камней, значит, в самой большой – не менее 21 камня. Набор 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 удовлетворяется условию задачи. Действительно, возьмем, например, кучку из 19 камней. Перекладываем из нее 4 камня в кучку из 15 камней. Теперь в «раскладываемой» кучке 15 камней, а в остальных – от 16 до 21. Докладываем в них 5, 4, …, 1, 0 камней.
Ответ: 7.
Решение. Непосредственным перебором можно проверить, что разные параллелепипеды в данной задаче имеют разный объем, а именно, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18 или 27. Всего в «большом» кубе 27 единичных кубиков. Предположим, что все k параллелепипедов различны. Если k ≥ 7, то суммарный объем всех параллелепипедов не менее 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 9 = 33 > 27. Значит, предположение неверно, и хотя бы два параллелепипеда совпадают.
Покажем, что на 6 разных параллелепипедов куб разделить можно. Действительно, 27 = 1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 9, так что параллелепипеды можно сложить так: «нижний слой» - параллелепипед 1х3х3, на нем параллелепипеды 2х2х2 и 1х2х2 образуют параллелепипед 3х2х2. Оставшуюся область 1х2х3 заполняем брусками 1х1х3 и 1х1х2 и кубиком 1х1х1.
Решение. Будем перекладывать камни из первой кучке. Так как в остальных кучках разное число камней, то и добавить к ним нужно разное число. То есть, не менее, чем 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 камней. Итак, даже в самой маленькой кучке не менее 15 камней, значит, в самой большой – не менее 21 камня. Набор 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 удовлетворяется условию задачи. Действительно, возьмем, например, кучку из 19 камней. Перекладываем из нее 4 камня в кучку из 15 камней. Теперь в «раскладываемой» кучке 15 камней, а в остальных – от 16 до 21. Докладываем в них 5, 4, …, 1, 0 камней.
Решение. Непосредственным перебором можно проверить, что разные параллелепипеды в данной задаче имеют разный объем, а именно, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18 или 27. Всего в «большом» кубе 27 единичных кубиков. Предположим, что все k параллелепипедов различны. Если k ≥ 7, то суммарный объем всех параллелепипедов не менее 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 9 = 33 > 27. Значит, предположение неверно, и хотя бы два параллелепипеда совпадают.
Покажем, что на 6 разных параллелепипедов куб разделить можно. Действительно, 27 = 1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 9, так что параллелепипеды можно сложить так: «нижний слой» - параллелепипед 1х3х3, на нем параллелепипеды 2х2х2 и 1х2х2 образуют параллелепипед 3х2х2. Оставшуюся область 1х2х3 заполняем брусками 1х1х3 и 1х1х2 и кубиком 1х1х1.