Сначала расставим числа подряд, а затем поменяем местами числа 2 и 3, 4 и 5, ..., 98 и 99. В полученной расстановке (1, 3, 2, 5, 4, ..., 99, 98, 100) есть ровно 51 хорошая пара – это пары
(1, 3), (3, 2), (5, 4), (7, 6), ..., (97, 96), (99, 98), (98, 100).
Докажем, что хороших пар не менее 51. Заметим, что среди любых двух пересекающихся пар хотя бы одна – хорошая. Действительно, пусть a1, a2, a3, a4, a5 – подряд стоящие числа. Не умаляя общности, можно считать, что a1>a2<a3>a4<a5. Пусть пара (a3, a4) не является хорошей. Тогда a1>a2>a5>a4, то есть a1>a4<a5. Значит, пара (a2, a3) является хорошей.
Поэтому хороших пар уже не менее 50, причем ровно 50 их может быть, только если хорошие и нехорошие пары чередуются. Но пара, следующая за числом 100, – хорошая: 100>(ak<ak+1)>ak+2<ak+3. Хорошей также является и пара, предшествующая числу 100, а значит, чередование невозможно.
(1, 3), (3, 2), (5, 4), (7, 6), ..., (97, 96), (99, 98), (98, 100).
Докажем, что хороших пар не менее 51. Заметим, что среди любых двух пересекающихся пар хотя бы одна – хорошая. Действительно, пусть a1, a2, a3, a4, a5 – подряд стоящие числа. Не умаляя общности, можно считать, что a1>a2<a3>a4<a5. Пусть пара (a3, a4) не является хорошей. Тогда a1>a2>a5>a4, то есть a1>a4<a5. Значит, пара (a2, a3) является хорошей.
Поэтому хороших пар уже не менее 50, причем ровно 50 их может быть, только если хорошие и нехорошие пары чередуются. Но пара, следующая за числом 100, – хорошая: 100>(ak<ak+1)>ak+2<ak+3. Хорошей также является и пара, предшествующая числу 100, а значит, чередование невозможно.