Найдите натуральное число, большее 1340, но меньшее 1640, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю
Если искомое число содержит цифру 5, то эта цифра должна стоять на 4-м месте. Это просто понять из того, что признак делимости на 5 - это 0, или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет стоять где-нибудь не на последнем месте, то тогда, согласно признаку делимости 5, еще одна 5 будет стоять в конце числа, а это противоречит условию задачи.
Первая цифра - единица. Это очевидно из того, что искомое число больше 1340 и меньше 1640.
На втором месте могут стоять цифры 3,4,6.
Если на втором месте стоит цифра 3, то сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма первых двух цифр: 1+3=4. Тогда сумма всех 4 цифр, которая делится на 3, может быть максимум 21. Рассмотрим варианты:
4+x+y=21 (x=8, y=9: 1389 - не подходит, так как не делится на 8, 1398 - не делится на 9)
4+x+y=18 (x+y=14: x=5,y=9 - 1395 - число делится на 3, на 9 и на 5, x=6,y=8 - 1368 - число делится на 3, на 6. на 8, x=7,y=7 - не подходит)
4+x+y=15 (x+y=11: x=2,y=9 - не подходит, x=3,y=8 - не подходит, x=4,y=7 - не подходит, x=5,y=6 - не подходит)
4+x+y=12 (x+y=8: x=7,y=1 - не подходит, x=2,y=6 - 1362- число делится на каждую из своих цифр, x=3,y=5 - не подходит, x=4,y=4 - не подходит)
4+x+y=9 (x+y=5: x=4,y=1 - не подходит, x=3, y=2 - не подходит)
4+x+y=6 (x+y=2: x=1,y=1 - не подходит)
4+x+y=3 (x+y=1 - не возможно, в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не равняется.
Если на втором месте цифра 4, то последние две цифры должны делиться на 4. Среди таких чисел (без повторяющихся цифр): 28 (не подходит), 32 (не подходит), 36 (не подходит), 68 (не подходит), 72 (не подходит), 76 (не подходит), 82 (не подходит), 86 (не подходит), 98 (не подходит).
Если на втором месте стоит цифра 6, то сумма цифр числа должна делиться на 3 и, кроме того, число должно оканчиваться на четную цифру. Сумма первых двух цифр 1+6=7. Тогда сумма всех 4 цифр, которая делится на 3, может быть максимум 24. Рассмотрим варианты:
7+x+y=24 (x+y=17, x=8, y=9 не подходят, так как число должно быть меньше 1640)
7+x+y=21 (x+y=14: x=5,y=9 - не подходит, x=6,y=8 - не подходит, x=7,y=7 - не подходит)
7+x+y=18 (x+y=11: x=2,y=9 - не подходит, x=3,y=8 - не подходит, x=4,y=7 - не подходит, x=5,y=6 - не подходит)
7+x+y=15 (x+y=8: x=7,y=1 - не подходит, x=2,y=6 - не подходит, x=3,y=5 - не подходит, x=4,y=4 - не подходит)
7+x+y=12 (x+y=5: x=4,y=1 - не подходит, x=3, y=2 - число 1632 делится на каждую из своих цифр)
7+x+y=9 (x+y=2: x=1,y=1 - не подходит)
Ответ: 1395, 1368, 1362, 1632
Первая цифра - единица. Это очевидно из того, что искомое число больше 1340 и меньше 1640.
На втором месте могут стоять цифры 3,4,6.
Если на втором месте стоит цифра 3, то сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма первых двух цифр: 1+3=4. Тогда сумма всех 4 цифр, которая делится на 3, может быть максимум 21. Рассмотрим варианты:
4+x+y=21 (x=8, y=9: 1389 - не подходит, так как не делится на 8, 1398 - не делится на 9)
4+x+y=18 (x+y=14: x=5,y=9 - 1395 - число делится на 3, на 9 и на 5, x=6,y=8 - 1368 - число делится на 3, на 6. на 8, x=7,y=7 - не подходит)
4+x+y=15 (x+y=11: x=2,y=9 - не подходит, x=3,y=8 - не подходит, x=4,y=7 - не подходит, x=5,y=6 - не подходит)
4+x+y=12 (x+y=8: x=7,y=1 - не подходит, x=2,y=6 - 1362- число делится на каждую из своих цифр, x=3,y=5 - не подходит, x=4,y=4 - не подходит)
4+x+y=9 (x+y=5: x=4,y=1 - не подходит, x=3, y=2 - не подходит)
4+x+y=6 (x+y=2: x=1,y=1 - не подходит)
4+x+y=3 (x+y=1 - не возможно, в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не равняется.
Если на втором месте цифра 4, то последние две цифры должны делиться на 4. Среди таких чисел (без повторяющихся цифр): 28 (не подходит), 32 (не подходит), 36 (не подходит), 68 (не подходит), 72 (не подходит), 76 (не подходит), 82 (не подходит), 86 (не подходит), 98 (не подходит).
Если на втором месте стоит цифра 6, то сумма цифр числа должна делиться на 3 и, кроме того, число должно оканчиваться на четную цифру. Сумма первых двух цифр 1+6=7. Тогда сумма всех 4 цифр, которая делится на 3, может быть максимум 24. Рассмотрим варианты:
7+x+y=24 (x+y=17, x=8, y=9 не подходят, так как число должно быть меньше 1640)
7+x+y=21 (x+y=14: x=5,y=9 - не подходит, x=6,y=8 - не подходит, x=7,y=7 - не подходит)
7+x+y=18 (x+y=11: x=2,y=9 - не подходит, x=3,y=8 - не подходит, x=4,y=7 - не подходит, x=5,y=6 - не подходит)
7+x+y=15 (x+y=8: x=7,y=1 - не подходит, x=2,y=6 - не подходит, x=3,y=5 - не подходит, x=4,y=4 - не подходит)
7+x+y=12 (x+y=5: x=4,y=1 - не подходит, x=3, y=2 - число 1632 делится на каждую из своих цифр)
7+x+y=9 (x+y=2: x=1,y=1 - не подходит)
Ответ: 1395, 1368, 1362, 1632