Войти Регистрация Спроси ai-bota

Никак не пойму, где ошибка. интегрирование.

Показать ответ

Ответ:

JetMinegrifer

07.06.2020 00:05

$\int{\frac{x}{x^3-1}dx}=\int{\frac{x}{(x+1)(x^2+x+1)}dx}$

Разложим на слагаемые

$\frac{x}{(x+1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}=\frac{A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\\=x=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1);\\x=Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C=(A+B)x^2+(A-B+C)x+A-C=\\=\left \{ {{A+B=0} \atop {A-B+C=1}}\atop{A-C=0} \right.\left \{ {{A=-B} \atop {A-B+C=1}}\atop{A=C} \right.;\left \{ {{-B-B+C=1} \atop {-B-C=0}} \right.;-3B=1;B=-\frac{1}{3}=A=C=\frac{1}{3}$

Запишем данный интеграл, как сумму интегралов

$\int{\frac{x}{(x+1)(x^2+x+1}dx}=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x-1}dx}+\int{\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{x^2+x+1}dx}$

Посчитаем эти интегралы

$1)\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x-1}dx}=\frac{1}{3}\ln(|x-1|)+C\\2)\int{\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{x^2+x+1}dx}=\begin{vmatrix}Px+Q=(x^2+x+1)'=\\=-\frac{1}{6}(2x-2)\end{vmatrix}=-\frac{1}{6}\int{\frac{2x-2}{x^2+x+1}dx}=-\frac{1}{6}\int{\frac{d(x^2+x+1)}{x^2+x+1}}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2+x+1}dx(1)}=-\frac{1}{6}\ln(x^2+x+1)+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}})+C$

$(1)\\\int{\frac{1}{x^2+x+1}dx=\int\frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}})+C$

Объединяем решения

$\frac{1}{3}\ln(|x-1|)-\frac{1}{6}\ln(|x^2+x+1|)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{2}})+C=\\=\frac{1}{3}(]ln(]x-1|)-\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1))+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{2}})+C=\\=\frac{1}{3}\ln(\frac{|x-1|}{\sqrt{x^2+x+1}})+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{2}})+C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Другие предметы

darinaavans

20.09.2020 11:04

От чего зависит дальность прыжка в длину с разбега согнув ноги»? 8 букв...

kariiinka

22.12.2022 11:59

Написати порядок розроблення та застосування міжнародних і європейських стандартів; відмінності їх статусу від українських; порядок застосування міжнародних та міждержавних стандартів...

angelinakuznetsova

25.04.2023 20:43

Який біг починається з низького старту...

oksanka199800

30.03.2023 07:05

Графическая работа 4. Выполните необходимые сечения одного из валиков....

ksunavolik

05.03.2022 08:10

с С# Написать программу, динамически порождающую на окне кнопки или метки. Левый верхний угол элемента управления определяется местоположением курсора при щелчке. При нажатии правой...

нарешатор

03.04.2020 15:51

, программирование 1.Розробити програму, яка виводить на екран монітора одним оператором Ваше прізвище, ім’я, по батькові, місце навчання та місце проживання, розбиваючи цю інформацію...

NoName69vv

23.10.2020 07:29

Спортсмен, включенный в пул тестирования, обязан предоставлять следующую информацию о своем местонахождении на каждый день квартала (если она применима к этому дню) (выберите один...

timbn2006

29.09.2022 18:08

Может кто с решением?...

малинка188

09.01.2020 19:50

Кто дольше может обходиться без воды? 1) Верблюд 2) Жираф? ...

1246881

23.07.2021 07:35

, нужно сделать 3 варианта, а я не чего не понимаю...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку